新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测十六导

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课时跟踪检测(十六) 导数与函数的极值、最值

一、题点全面练

1．函数f(x)＝xe，x∈[0,4]的最小值为( ) A．0 4C.4 e

1－x解析：选A f′(x)＝x，

e

当x∈[0,1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增， 当x∈(1,4]时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，

4

因为f(0)＝0，f(4)＝4＞0，所以当x＝0时，f(x)有最小值，且最小值为0.

e2．若函数f(x)＝ae－sin x在x＝0处有极值，则a的值为( ) A．－1 C．1

xx－x1B. e2D.2 e

B．0 D．e

x解析：选C f′(x)＝ae－cos x，若函数f(x)＝ae－sin x在x＝0处有极值，则f′(0)＝a－1＝0，解得a＝1，经检验a＝1符合题意，故选C.

3．已知x＝2是函数f(x)＝x－3ax＋2的极小值点，那么函数f(x)的极大值为( ) A．15 C．17

B．16 D．18

3

3

解析：选D 因为x＝2是函数f(x)＝x－3ax＋2的极小值点，所以f′(2)＝12－3a＝0，解得a＝4，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x－12x＋2，f′(x)＝3x－12，由f′(x)＝0，得x＝±2，故函数f(x)在(－2,2)上是减函数，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，由此可知当x＝－2时，函数f(x)取得极大值f(－2)＝18.

4.(2019·合肥模拟)已知函数f(x)＝x＋bx＋cx的大致图象如图所示，则x1＋x2等于( )

3

2

2

2

3

2

2A. 38C. 3

4B. 3D.16 3

解析：选C 由图象可知f(x)的图象过点(1,0)与(2,0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，因

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此1＋b＋c＝0,8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，所以f(x)＝x－3x＋2x，所以f′(x)＝3x－6x＋2，则x1，x2是方程f′(x)＝3x－6x＋2＝0的两个不同的实数根，因此x1＋x2＝2，

22

x1x2＝，所以x21＋x2＝(x1＋x2)－2x1x2＝4－＝. 2

2

32

2

34833

5．若函数f(x)＝x－3ax＋a(a>0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是________．

解析：f′(x)＝3x－3a＝3(x＋a)(x－a)， 由f′(x)＝0得x＝±a，

当－aa或x<－a时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增， ∴f(x)的极大值为f(－a)，极小值为f(a)． ∴f(－a)＝－a＋3a＋a>0且f(a)＝a－3a＋a<0， 解得a>

2. 2

3

3

3

3

2

2

32

∴a的取值范围是?答案：?

?2?

，＋∞?. ?2?

?2?，＋∞? ?2?

?1?6．(2019·长沙调研)已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax?a>?，当

?2?

x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a＝________.

解析：由题意知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1. 11

令f′(x)＝－a＝0，得x＝，

xa11

当00；当x>时，f′(x)<0.

aa?1?∴f(x)max＝f??＝－ln a－1＝－1，解得a＝1. a??

答案：1

7．(2018·内江一模)已知函数f(x)＝asin x＋bcos x(a，b∈R)，曲线y＝f(x)在点

?π，f?π??处的切线方程为y＝x－π. ?3???3

3????

(1)求a，b的值；

π?

(2)求函数g(x)＝

f?x＋?3

x?

?

??π?

在?0，?上的最小值．

2??

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π

解：(1)由切线方程知，当x＝时，y＝0，

331?π?∴f??＝a＋b＝0.

2?3?2∵f′(x)＝acos x－bsin x，

3?π?1

∴由切线方程知，f′??＝a－b＝1，

2?3?213

∴a＝，b＝－.

22

13?π?(2) 由(1)知，f(x)＝sin x－cos x＝sin?x－?，

3?22?∴函数g(x)＝

sin x?

xπ?xcos x－sin x.设u(x)＝xcos x－sin ?0

x2??

x?0≤x≤?，则u′(x)＝－xsin x<0，故u(x)在?0，?上单调递减．∴u(x)

22

?

?

π??

??

π??

g(x)在?0，?上单调递减．∴函数g(x)在 ?0，?上的最小值为g??＝. 222

??

π?

?

??

π?

?

?π?2??π

1

8．已知函数f(x)＝aln x＋(a>0)．

x(1)求函数f(x)的单调区间和极值；

(2)是否存在实数a，使得函数f(x)在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

解：由题意，知函数的定义域为{x|x>0}，

a1ax－1

f′(x)＝－2＝2(a>0)．

xxx1

(1)由f′(x)>0，解得x>，

a?1?所以函数f(x)的单调递增区间是?，＋∞?；

?a?

1

由f′(x)<0，解得0

a?1?所以函数f(x)的单调递减区间是?0，?.

?

a?

11?1?所以当x＝时，函数f(x)有极小值f??＝aln＋a＝a－aln a，无极大值．

a?a?

a(2)不存在，理由如下：

?1?由(1)可知，当x∈?0，?时，函数f(x)单调递减；

?

a?

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?1?当x∈?，＋∞?时，函数f(x)单调递增．

?a?

1

①若0<≤1，即a≥1时，函数f(x)在[1，e]上为增函数，

a故函数f(x)的最小值为f(1)＝aln 1＋1＝1，显然1≠0，故不满足条件．

11?1??1?②若1<≤e，即≤a<1时，函数f(x)在?1，?上为减函数，在?，e?上为增函数， ae?a??a?1?1?故函数f(x)的最小值为f(x)的极小值f??＝aln＋a＝a－aln a＝0，即ln a＝1，解得

a??

aa＝e，而≤a<1，故不满足条件．

11

③若>e，即0

ae

1e

aln e＋＝a＋＝0，即a＝－，而0

综上所述，不存在这样的实数a，使得函数f(x)在[1，e]上的最小值为0.

二、专项培优练

(一)易错专练——不丢怨枉分

1．(2019·郑州质检)若函数f(x)＝x－ax－bx＋a在x＝1时有极值10，则a，b的值为( )

A．a＝3，b＝－3或a＝－4，b＝11 B．a＝－4，b＝－3或a＝－4，b＝11 C．a＝－4，b＝11 D．以上都不对

解析：选C 由题意，f′(x)＝3x－2ax－b， 则f′(1)＝0，即2a＋b＝3.①

2

3

2

2

1e1e1e1e

f(1)＝1－a－b＋a2＝10，即a2－a－b＝9.②

??a＝－4，

联立①②，解得?

?b＝11???a＝3，

经检验?

?b＝－3?

??a＝3，

或?

?b＝－3.?

不符合题意，舍去．故选C.

12

2．(2019·唐山联考)若函数f(x)＝x－ln x＋1在其定义域内的一个子区间(a－1，a2＋1)内存在极值，则实数a的取值范围是________．

14x－1

解析：由题意，得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－＝，令f′(x)

2x2x2