当前位置:首页 > 新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测十六导
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课时跟踪检测(十六) 导数与函数的极值、最值
一、题点全面练
1.函数f(x)=xe,x∈[0,4]的最小值为( ) A.0 4C.4 e
1-x解析:选A f′(x)=x,
e
当x∈[0,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增, 当x∈(1,4]时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
4
因为f(0)=0,f(4)=4>0,所以当x=0时,f(x)有最小值,且最小值为0.
e2.若函数f(x)=ae-sin x在x=0处有极值,则a的值为( ) A.-1 C.1
xx-x1B. e2D.2 e
B.0 D.e
x解析:选C f′(x)=ae-cos x,若函数f(x)=ae-sin x在x=0处有极值,则f′(0)=a-1=0,解得a=1,经检验a=1符合题意,故选C.
3.已知x=2是函数f(x)=x-3ax+2的极小值点,那么函数f(x)的极大值为( ) A.15 C.17
B.16 D.18
3
3
解析:选D 因为x=2是函数f(x)=x-3ax+2的极小值点,所以f′(2)=12-3a=0,解得a=4,所以函数f(x)的解析式为f(x)=x-12x+2,f′(x)=3x-12,由f′(x)=0,得x=±2,故函数f(x)在(-2,2)上是减函数,在(-∞,-2),(2,+∞)上是增函数,由此可知当x=-2时,函数f(x)取得极大值f(-2)=18.
4.(2019·合肥模拟)已知函数f(x)=x+bx+cx的大致图象如图所示,则x1+x2等于( )
3
2
2
2
3
2
2A. 38C. 3
4B. 3D.16 3
解析:选C 由图象可知f(x)的图象过点(1,0)与(2,0),x1,x2是函数f(x)的极值点,因
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此1+b+c=0,8+4b+2c=0,解得b=-3,c=2,所以f(x)=x-3x+2x,所以f′(x)=3x-6x+2,则x1,x2是方程f′(x)=3x-6x+2=0的两个不同的实数根,因此x1+x2=2,
22
x1x2=,所以x21+x2=(x1+x2)-2x1x2=4-=. 2
2
32
2
34833
5.若函数f(x)=x-3ax+a(a>0)的极大值是正数,极小值是负数,则a的取值范围是________.
解析:f′(x)=3x-3a=3(x+a)(x-a), 由f′(x)=0得x=±a,
当-a
2. 2
3
3
3
3
2
2
32
∴a的取值范围是?答案:?
?2?
,+∞?. ?2?
?2?,+∞? ?2?
?1?6.(2019·长沙调研)已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=ln x-ax?a>?,当
?2?
x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a=________.
解析:由题意知,当x∈(0,2)时,f(x)的最大值为-1. 11
令f′(x)=-a=0,得x=,
xa11
当0
aa?1?∴f(x)max=f??=-ln a-1=-1,解得a=1. a??
答案:1
7.(2018·内江一模)已知函数f(x)=asin x+bcos x(a,b∈R),曲线y=f(x)在点
?π,f?π??处的切线方程为y=x-π. ?3???3
3????
(1)求a,b的值;
π?
(2)求函数g(x)=
f?x+?3
x?
?
??π?
在?0,?上的最小值.
2??
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π
解:(1)由切线方程知,当x=时,y=0,
331?π?∴f??=a+b=0.
2?3?2∵f′(x)=acos x-bsin x,
3?π?1
∴由切线方程知,f′??=a-b=1,
2?3?213
∴a=,b=-.
22
13?π?(2) 由(1)知,f(x)=sin x-cos x=sin?x-?,
3?22?∴函数g(x)=
sin x?
xπ?xcos x-sin x.设u(x)=xcos x-sin ?0 x2?? x?0≤x≤?,则u′(x)=-xsin x<0,故u(x)在?0,?上单调递减.∴u(x) 22 ? ? π?? ?? π?? g(x)在?0,?上单调递减.∴函数g(x)在 ?0,?上的最小值为g??=. 222 ?? π? ? ?? π? ? ?π?2??π 1 8.已知函数f(x)=aln x+(a>0). x(1)求函数f(x)的单调区间和极值; (2)是否存在实数a,使得函数f(x)在[1,e]上的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由. 解:由题意,知函数的定义域为{x|x>0}, a1ax-1 f′(x)=-2=2(a>0). xxx1 (1)由f′(x)>0,解得x>, a?1?所以函数f(x)的单调递增区间是?,+∞?; ?a? 1 由f′(x)<0,解得0 a?1?所以函数f(x)的单调递减区间是?0,?. ? a? 11?1?所以当x=时,函数f(x)有极小值f??=aln+a=a-aln a,无极大值. a?a? a(2)不存在,理由如下: ?1?由(1)可知,当x∈?0,?时,函数f(x)单调递减; ? a? word精品,双击可进行修改 ?1?当x∈?,+∞?时,函数f(x)单调递增. ?a? 1 ①若0<≤1,即a≥1时,函数f(x)在[1,e]上为增函数, a故函数f(x)的最小值为f(1)=aln 1+1=1,显然1≠0,故不满足条件. 11?1??1?②若1<≤e,即≤a<1时,函数f(x)在?1,?上为减函数,在?,e?上为增函数, ae?a??a?1?1?故函数f(x)的最小值为f(x)的极小值f??=aln+a=a-aln a=0,即ln a=1,解得 a?? aa=e,而≤a<1,故不满足条件. 11 ③若>e,即0 ae 1e aln e+=a+=0,即a=-,而0 综上所述,不存在这样的实数a,使得函数f(x)在[1,e]上的最小值为0. 二、专项培优练 (一)易错专练——不丢怨枉分 1.(2019·郑州质检)若函数f(x)=x-ax-bx+a在x=1时有极值10,则a,b的值为( ) A.a=3,b=-3或a=-4,b=11 B.a=-4,b=-3或a=-4,b=11 C.a=-4,b=11 D.以上都不对 解析:选C 由题意,f′(x)=3x-2ax-b, 则f′(1)=0,即2a+b=3.① 2 3 2 2 1e1e1e1e f(1)=1-a-b+a2=10,即a2-a-b=9.② ??a=-4, 联立①②,解得? ?b=11???a=3, 经检验? ?b=-3? ??a=3, 或? ?b=-3.? 不符合题意,舍去.故选C. 12 2.(2019·唐山联考)若函数f(x)=x-ln x+1在其定义域内的一个子区间(a-1,a2+1)内存在极值,则实数a的取值范围是________. 14x-1 解析:由题意,得函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2x-=,令f′(x) 2x2x2
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