北京市东城区2012届高三上学期期末考试理科数学

（20）(本小题共14分)

已知M是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意f(x)?M，①方程f(x)?x?0有实数根；②函数f(x)的导数f?(x)满足0?f?(x)?1． （Ⅰ）判断函数f(x)?x2?sinx4是否是集合M中的元素，并说明理由；

（Ⅱ）集合M中的元素f(x)具有下面的性质：若f(x)的定义域为D，则对于任意

?m,n??D，都存在x0??m,n?，使得等式f(n)?f(m)?(n?m)f?(x0)成立．试用

这一性质证明：方程f(x)?x?0有且只有一个实数根；

（Ⅲ）对任意f(x)?M，且x??a,b?，求证：对于f(x)定义域中任意的x1，x2，x3，当

x2?x1?1，且x3?x1?1时，f(x3)?f(x2)?2.

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东城区2011-2012学年度第一学期期末教学统一检测

高三数学参考答案及评分标准 （理科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）B （2）A （3）D （4）C （5）D （6）B （7）A （8）C

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）?43 （10）30? （11）?5?1212

（12）?3 57 （13） （14）a≥?1

注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）

解：（Ⅰ）由已知3sinB?cosB?1，

整理得sin(B??6)?12． ………………2分

因为0?B??，

所以??6?6?B??6?6?56?. ?3 故B??，解得B?. ……………4分

?4 由A?c5?12?，且A?B?C??，得C?bsinB.

由

sinC，即

csin?4?1sin?3，

解得c?2632. ………………7分

2 （Ⅱ）因为b?a?c?2accosB，又a?2c，B?2222?3，

所以b?4c?c?4c?12，解得b?3c. ………………10分

?213 由此得a2?b2?c2，故△ABC为直角三角形，A?，c?．

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其面积S? （16）（共13分）

12bc?36． ………………13分

解：（Ⅰ）设?an?的公差为d，

?b2?S2?12,?q?6?d?12，??S26?d因为?所以?

q?．q?,??qb2?? 解得 q?3或q??4（舍），d?3．

故an?3?3(n?1)?3n ，bn?3n(3?3n)2?2n(3?3n)1Snn?1． ……………6分

（Ⅱ）因为Sn?所以

1Sn1S2，

211(?)． ………9分 3nn?1? 故

1S1?????2?1111111?(1?)?(?)?(?)???(?)? 3?22334nn?1???23(1?1n?1)． ………11分

1

n?121212 所以≤(1?)?．

33n?13 因为n≥1，所以0?≤

1，于是

12≤1?1n?1?1，

即

13≤

1S1?1S2???1Sn?23． ……………13分

（17）（共14分） 证明：（Ⅰ）连接BD ．

因为四边形ABCD为菱形，?BAD?60，

所以△ABD为正三角形．又Q为AD中点， 所以AD?BQ．

因为PA?PD,Q为AD的中点，

?

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所以AD?PQ． 又BQ?PQ?Q，

所以AD?平面PQB． ………………4分 （Ⅱ）当t?13时，PA∥平面MQB．

P M 下面证明：

连接AC交BQ于N，连接MN． 因为AQ∥BC， 所以

ANNC?AQBC?12D Q C B ．

A N 因为PA∥平面MQB，PA?平面PAC，平面MQB?平面PAC?MN， 所以MN∥PA.

PMAN1所以??．

MCNC211所以PM?PC，即t?．

331 因为PM?PC，

3PM1所以?．

MC2PMAN1 所以??，

MCNC2 所以MN∥PA.

又MN?平面MQB，PA?平面MQB，

所以PA∥平面MQB． …………9分 （Ⅲ）因为PQ?AD，

又平面PAD?平面ABCD，交线为AD， 所以PQ?平面ABCD．

以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP所在的直 线为x,y,z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系Q?xyz． 由PA=PD=AD=2，

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