北京市东城区2012届高三上学期期末考试理科数学

北京市东城区2011-2012学年度高三数第一学期期末教学统一检测

数学（理科）

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项。

（1）已知集合A??xx?0?，B??0,1,2?，则

（A）A?B （B）B?A （C）A?B?B （D）A?B?? （2）在复平面内，复数

1?2i?i对应的点位于

(A)第一象限 （B） 第二象限 （C） 第三象限 （D） 第四象限 （3）下列命题中正确的是

（A）如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行 （B）过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直

（C）如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面 （D）如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面

（4）一个几何体的三视图如图所示，其中正(主)视图中△ABC是边长

为2的正三角形，俯视图的边界为正六边形，那么该几何体的侧(左) 视图的面积为 （A）

（5）在平面直角坐标系内，若曲线C：x?y?2ax?4ay?5a?4?0上所有的点均在第二象限内，则实数a的取值范围为 （A）???,?2?

（6）如图所示，点P是函数y?2sin(?x??)(x?R,??0)的图象的最高点，M，N是

该图象与x轴的交点，若PM?PN?0，则?的值为

（B） ???,?1? （C）?1,??? （D）?2,???

22212 （B）1 （C）

32 （D） 2

- 1 -

（A）

?8 （B）

?4 （C）4 （D）8

（7）对于函数f(x）?lgx?2?1，有如下三个命题：

①f(x?2)是偶函数；

②f(x)在区间(??,2)上是减函数，在区间?2,???上是增函数； ③f(x?2)?f(x)在区间?2,???上是增函数．

其中正确命题的序号是

（A）①② （B）①③ （C）②③ （D）①②③

（8）已知函数f(x)?x2?1的定义域为?a,b?(a?b)，值域为?1,5?，则在平面直角坐标系

内，点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为

（A）8 （B）6 （C）4 （D）2

- 2 -

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）已知sin??2cos?，那么tan2?的值为 ．

（10）若非零向量a，b满足a?b?a?b，则a与a?b的夹角为 ． ?sin?x,（11）已知函数f(x)???f(x?1),x?0,x?0,56那么f()的值为 ．

（12）在等差数列?an?中，若a5?a7?4，a6?a8??2，则数列?an?的公差等于 ； 其前n项和Sn的最大值为 ．

xa22y B A F O

（13）如图，已知椭圆?yb22 ?1(a?b?0)的左顶点为A，左焦点为F，

x 上顶点为B，若?BAO??BFO?90?，则该椭圆的离心率是 . (14)已知不等式xy≤ax2?2y2，若对任意x??1,2?且y??2,3?，该不等式恒成立，则实 数a的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共13分）

c，已知△ABC中，角A，B，且3sinB?cosB?1， C的对边分别为a，b，b?1．

5?（Ⅰ）若A?，求c；

12（Ⅱ）若a?2c，求△ABC的面积．

（16）（本小题共13分）

在等差数列?an?中，a1?3，其前n项和为Sn，等比数列?bn?的各项均为正数，b1?1，公比为q，且b2?S2?12， q?（Ⅰ）求an与bn； （Ⅱ）证明：

- 3 -

S2b2．

13≤

1S1?1S2???1Sn?23．

（17）（本小题共14分）

如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为菱形，?BAD?60?，Q为AD的

中点，PA?PD?AD?2． （Ⅰ）求证：AD?平面PQB；

（Ⅱ）点M在线段PC上，PM?tPC，试确定t的值，

使PA//平面MQB；

P M D Q A C （Ⅲ）若PA//平面MQB，平面PAD?平面ABCD， 求二面角M?BQ?C的大小．

（18）（本小题共13分）

已知函数f(x)?2ax?3x，其中a?0． （Ⅰ）求证：函数f(x)在区间(??,0)上是增函数；

32B （Ⅱ）若函数g(x)?f(x)?f?(x)(x??0,1?)在x?0处取得最大值，求a的取值范围．

（19）（本小题共13分）

xa22已知椭圆?yb22?1(a?b?0)的右焦点为F(1,0)，M为椭圆的上顶点，O为坐标

原点，且△OMF是等腰直角三角形． （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点， 且使点F为△PQM的垂心（垂心：三角形三

边高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

- 4 -