数列常见题型总结经典

高中数学《数列》常见、常考题型总结

题型一 数列通项公式的求法

1．前n项和法（知Sn求an）an??(n?1)?S1

?Sn?Sn?1(n?2)2例1、已知数列{an}的前n项和Sn?12n?n，求数列{|an|}的前n项和Tn 2变式：已知数列{an}的前n项和Sn?n?12n，求数列{|an|}的前n项和Tn

练习：

?2(n?1)1、若数列{an}的前n项和Sn?2，求该数列的通项公式。答案：an??n?1

(n?2)?23n2、若数列{an}的前n项和Sn?an?3，求该数列的通项公式。答案：an?2?3

223、设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn?2Sn?n， 求数列{an}的通项公式。

n4.Sn为{an}的前n项和，Sn=3（an－1），求an（n∈N+） 5、设数列?an?满足a1?3a2?3a3?…+3an?2n-1n(n?N*)，求数列?an?的通项公式（作差法） 32.形如an?1?an?f(n)型（累加法）

（1）若f(n)为常数,即：an?1?an?d,此时数列为等差数列，则an=a1?(n?1)d. （2）若f(n)为n的函数时，用累加法.

3n?1例 1. 已知数列｛an｝满足a1?1,an?3?an?1(n?2),证明an?

2*例2.已知数列?an?的首项为1，且an?1?an?2n(n?N)写出数列?an?的通项公式.

n?1 例3.已知数列{an}满足a1?3，an?an?1?1(n?2)，求此数列的通项公式.

n(n?1)an?1?f(n)型（累乘法） anan?1（1）当f(n)为常数，即：n?1?q（其中q是不为0的常数），此数列为等比且an=a1?q.

an3.形如

（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法. 例1、在数列{an}中a1?1,an?练习：

1、在数列{an}中a1?1,an?2、求数列a1n2an?1 (n?2)，求数列的通项公式。答案：an? n?1n?1n?12an?1 (n?2)，求an与Sn。答案：an?

n(n?1)n?1?1,an?2n?3an?1(n?2)的通项公式。

2n?1pan?1型（取倒数法）

ran?1?san?1例1. 已知数列?an?中，a1?2，an?(n?2)，求通项公式an

2an?1?14.形如an?1

an1,求通项公式an.答案：an?

3an?13n?212、若数列{an}中，a1?1，an?1?an?2anan?1，求通项公式an.答案：an?

2n?15．形如an?1?can?d,(c?0,其中a1?a)型（构造新的等比数列）

练习：1、若数列{an}中，a1?1,an?1?（1）若c=1时，数列{an}为等差数列;（2）若d=0时，数列{an}为等比数列;

（3）若c?1且d?0时，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. 方法如下：设an?1?A?c(an?A),利用待定系数法求出A

11an?,求通项an. 22n?1练习：1、若数列{an}中，a1?2,an?1?2an?1,求通项公式an。答案：an?2?1

22n?12、若数列{an}中，a1?1,an?1?an?1,求通项公式an。答案：an?3?2?()

336.形如an?1?pan?f(n)型（构造新的等比数列）

(1)若f(n)?kn?b一次函数(k,b是常数，且k?0)，则后面待定系数法也用一次函数。

3例题. 在数列{an}中，a1?，2an?an?1?6n?3,求通项an.

2例1．已知数列{an}中，a1?2,an?1?解：原递推式可化为2(an?kn?b)?an?1?k(n?1)?b

比较系数可得：k=-6,b=9,上式即为2bn?bn?1

91,公比为.

229111?bn?()n?1 即：an?6n?9?9?()n，故an?9?()n?6n?9.

2222练习：1、已知数列?an?中，a1?3，an?1?3an?4n?2，求通项公式an

所以?bn?是一个等比数列，首项b1?a1?6n?9?(2)若f(n)?q(其中q是常数，且n?0,1)

n①若p=1时，即：an?1?an?q，累加即可

n②若p?1时，即：an?1?p?an?q，后面的待定系数法也用指数形式。

npan1?n?, n?1qqqqap1b??b?令bn?n,则可化为.然后转化为类型5来解， n?1nqqqn2例1. 在数列{an}中，a1??，且an??2an?1?3n?1(n?N)．求通项公式an

511nn?11、已知数列?an?中，a1?，2an?an?1?()，求通项公式an。答案：an?n?1

222nn?1n2、已知数列?an?中，a1?1，an?1?3an?3?2，求通项公式an。答案：an?7?3?3?2

两边同除以qn?1 . 即：

an?1?

题型二 根据数列的性质求解（整体思想）

1、已知Sn为等差数列?an?的前n项和，a6?100，则S11? ； 2、设Sn、Tn分别是等差数列?an?、?an?的前n项和，

Sn7n?2a?，则5? . Tnn?3b52

3、设Sn是等差数列?an?的前n项和，若

a55S?,则9?（ ） a39S55、在正项等比数列?an?中，a1a5?2a3a5?a3a7?25，则a3?a5?_______。 6、已知Sn为等比数列?an?前n项和，Sn?54，S2n?60，则S3n? . 7、在等差数列?an?中，若S4?1,S8?4，则a17?a18?a19?a20的值为（ ） 8、在等比数列中，已知a9?a10?a(a?0)，a19?a20?b，则a99?a100? . 题型三：证明数列是等差或等比数列 A)证明数列等差

例1、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0（n≥2），a1=B）证明数列等比

*例1、已知数列?an?满足a1?1,a2?3,an?2?3an?1?2an(n?N).11.求证：{}是等差数列；

Sn2

⑴证明：数列?an?1?an?是等比数列； ⑵求数列?an?的通项公式； 题型四：求数列的前n项和 基本方法：A）公式法， B）分组求和法

1、求数列{2?2n?3}的前n项和Sn.

n2.Sn??1?3?5?7???(?1)(2n?1)

n3.若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝( ) A．15 B．12 C．－12 D．－15 4.求数列1，2+

1111，3+，4+，…，n?n?1 248211111?(?)；?n?1?n；

n(n?k)knn?kn?n?15.已知数列{an}是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{an}的通项公式并求其前n项和Sn. C）裂项相消法，数列的常见拆项有：

例1、求和：S=1+

111 ????1?21?2?31?2?3???n例2、求和：

1111?????. 2?13?24?3n?1?nD）倒序相加法，

x2111)?f(2009)???f(1例、设f(x)?，求：f(20103)?f(2)?f(2)???f(2009)?f(2010). 21?xE）错位相减法，

n1、若数列?an?的通项an?(2n?1)?3，求此数列的前n项和Sn. 22.Sn?1?2x?3x??nxn?1(x?0) （将分为x?1和x?1两种情况考虑）

3

题型五：数列单调性最值问题

例1、数列?an?中，an?2n?49，当数列?an?的前n项和Sn取得最小值时，n? . 例2、已知Sn为等差数列?an?的前n项和，a1?25,a4?16.当n为何值时，Sn取得最大值；

n*例3、设数列?an?的前n项和为Sn．已知a1?a，an?1?Sn?3，n?N．

n*（Ⅰ）设bn?Sn?3，求数列?bn?的通项公式；（Ⅱ）若an?1≥an，n?N，求a的取值范围．

题型六：总结规律题 1． 已知数列?an?满足an?5an?1?2(n?2,n?N*)，且?an?前2014项的和为403，则数列?an?an?1?的前2014

an?1?5项的和为？

2． 数列{an}满足an+1＋(－1)n an ＝2n－1，则{an}的前60项和为？ 常见练习

1．方程x2?6x?4?0的两根的等比中项是（ ）

A．3 B．?2 C．?6 D．2 2、已知等比数列?an?的前三项依次为a?1，a?1，a?4，则an?

?3?n?2?n?3?n?1n?1A．4???2?? B．4???3?? C．4???2?? D．4???2??3??

3．一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则此数列的项数为（A．12 B．14 C．16 D．18 4．{an}是等差数列，S10?0,S11?0，则使an?0的最小的n值是（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8 5.若数列1,2cos?,22cos2?,23cos3?,,前100项之和为0，则?的值为（ ）

A. k???3(k?Z) B. 2k???3(k?Z) C. 2k??2?3(k?Z) D.以上的答案均不对 6.设2a=3,2b=6,2c=12,则数列a,b,c成

A.等差 B.等比 C.非等差也非等比 D.既等差也等比 7．如果等差数列?an?中，a3?a4?a5?12，那么a1?a2?...?a7?( ) （A）14 （B）21 （C）28 （D）35

8.设数列{a3n}的前n项和Sn?n，则a4的值为( )

（A） 15 (B) 37 (C) 27 （D）64 9.设等比数列{an}的公比q?2，前n项和为SS4n，则

a?（ ） 24

）