高考数学二轮复习 第一部分 专题三 数列专题跟踪训练11 文

专题跟踪训练(十一)

一、选择题

1．(2015·重庆卷)在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝( ) A．－1 B．0 C．1 D．6

[解析] 由等差数列的性质知a2＋a6＝2a4，所以a6＝2a4－a2＝0，故选B. [答案] B

2．(2015·河南郑州第一次质量预测)等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝0，则公差d等于( )

A．－1 B．1 C．2 D．－2

[解析] 依题意得S3＝3a2＝6，即a2＝2，故d＝a3－a2＝－2，选D. [答案] D

5

3．(2015·山西太原一模)在单调递减的等比数列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1

2＝( )

A．2 B．4 C.2 D．22

5

[解析] 在等比数列{an}中，a2a4＝a2又a2＋a4＝，数列{an}为递减数列，∴a2＝2，3＝1，

21a411a2

a4＝，∴q2＝＝，∵a3>0，a2＋a4>0，∴q>0，∴q＝，a1＝＝4，故选B.

2a242q[答案] B

4．(2015·辽宁沈阳质量监测一)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sn＋2－Sn＝36，则n＝( )

A．5 B．6 C．7 D．8

[解析] 解法一：由题意Sn＝na1＋

nn－1

2

d＝n＋n(n－1)＝n2，Sn＋2＝(n＋2)2，由

Sn＋2－Sn＝36得(n＋2)2－n2＝4n＋4＝36，所以n＝8.

解法二：Sn＋2－Sn＝an＋1＋an＋2＝2a1＋(2n＋1)d＝2＋2(2n＋1)＝36，解得n＝8.所以选D.

[答案] D

5．(2015·河南洛阳统考)设等比数列{an}的公比为q，则“0

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[解析] an＋1－an＝a1q－a1qnn－1

＝a1qn－1

(q－1)，而a1的正负性未定，故无法判断数列{an}

的单调性，因此“0

[答案] D

6．(2015·山西四校联考)等比数列{an}的前n项和为Sn，若an>0，q>1，a3＋a5＝20，

a2a6＝64，则S5＝( )

A．31 B．36 C．42 D．48

??a3＋a5＝20

[解析] 由等比数列的性质，得a3a5＝a2a6＝64，于是由?

?a3a5＝64???a1q＝4

得a3＝4，a5＝16，所以?4

?a1q＝16?

2

5

，且an>0，q>1，

??a1＝1

，解得?

?q＝2?

1×

，所以S5＝1－21－2

＝31，故选A.

[答案] A

7．设数列{an}是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1、S2、S4成等比数列，则a2 015＝( )

4 029

A．4 030 B．4 029 C．2 014 D. 2

[解析] 因为S1、S2、S4成等比数列，所以S2＝S1S4，所以(2a1＋1)＝a1(4a1＋6)，解得

2

2

a1＝.所以an＝＋(n－1)×1＝n－(n∈N*)，故a2 015＝

[答案] D

1212124 029

，选D. 2

1a9＋a10

8．已知等比数列{an}的各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则＝( )

2a7＋a8A．3＋22 C．2＋32

B．3－22 D．2＋22

[解析] 设等比数列{an}的公比为q，且q>0.因为a1，

1a9＋a10

a3,2a2成等差数列，所以a3＝a1＋2a2，即a1q2＝a1＋2a1q，解得q＝1＋2，所以2a7＋a8

＝q＝(1＋2)＝3＋22，故选A.

[答案] A

9．(2015·江西南昌调研)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列一定成立的是( )

A．若a3>0，则a2 015<0 C．若a3>0，则S2 015>0

[解析] 设等比数列{an}的公比为q，

对于A，若a3>0，则a1q>0，所以a1>0，所以a2 015＝a1q32

2 014

2

2

B．若a4>0，则a2 014<0 D．若a4>0，则S2 014>0

>0，所以A不正确； >0，所以B不正确；

对于B，若a4>0，则a1q>0，所以a1q>0，所以a2 014＝a1q2 013

对于C，若a3>0，则a1q>0，所以a1>0，所以当q＝1时，S2 015>0，当q≠1时，S2 015＝

2

a11－q2 0152 015

，又1－q与1－q同号，所以C正确．故选C.

1－q[答案] C

1

10．已知各项均为正数的等比数列{an}的首项a1＝，前n项和为Sn，且S3＋a3，S5＋a5，

2

S4＋a4成等差数列，则数列{an}的通项公式an＝( )

1A.n 21?1?n－1

C.×?? 2?4?

B.

12

n－1

1?1?nD.×?? 2?4?

1n－1

[解析] 解法一：设等比数列{an}的公比为q(q>0)，由题意知a1>0，且an＝·q，

2又S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以2(S5＋a5)＝S3＋a3＋S4＋a4，即2(a1＋a2＋a3＋a412

＋2a5)＝a1＋a2＋2a3＋a1＋a2＋a3＋2a4，化简得4a5＝a3，从而4q＝1，解得q＝±，又q>0，

211

故q＝，an＝n，选择A.

22

解法二：在A、B、C、D四个选项中，令n＝1，可以验证B、D不满足题设条件，排除；1

对于A选项，由an＝n分别求出S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4，可以验证这三个值构成等差数列，

2故选A.

[答案] A

11．已知各项不为0的等差数列{an}满足2a3－a7＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且

2

b7＝a7，则b6b8＝( )

A．2 B．4 C．8 D．16

[解析] 据已知得2(a3＋a11)－a7＝4a7－a7＝0，又an≠0，故a7＝4，又由等比中项性质得b6b8＝b7＝a7＝16，故选D.

[答案] D

12．已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝

1**

(n∈N)．若bn＋1＝(n－λ)＋1(n∈N)，b1

an＋2an2

2

2

2

an＝－λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为( )

A．λ>2 C．λ<2

[解析] 由已知可得2(n－λ)，bn＝2

nn－1

B．λ>3 D．λ<3

1

an＋1an21111n＝＋1，＋1＝2＋1，＋1＝2≠0，则＋1＝2，bn＋1＝

an＋1ana1an(n－1－λ)(n≥2，n∈N)．b1＝－λ也适合上式，故bn＝2

*n－1

(n－1－λ)(n

∈N)．由bn＋1>bn，得2(n－λ)>2

*nn－1

(n－1－λ)，即λ

2，故实数λ的取值范围为λ<2.

[答案] C 二、填空题

13．(2014·安徽卷)数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.

[解析] 设等差数列的公差为d，则a3＝a1＋2d，a5＝a1＋4d， ∴(a1＋2d＋3)＝(a1＋1)(a1＋4d＋5)，解得d＝－1， ∴q＝

2

a3＋3a1－2＋3

＝＝1. a1＋1a1＋1

[答案] 1

14．(2015·安徽卷)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________．

??a1＋a4＝9[解析] ∵?

??a2a3＝8??a1＝1

8＝0的两根，故?

??a4＝8

??a1＋a4＝9，∴?

??a1a4＝8??a1＝8

或???a4＝1

n，则a1，a4可以看作一元二次方程x－9x＋

2

??a1＝1

，∵数列{an}是递增的等比数列，∴?

??a4＝8

，可得

公比q＝2，∴前n项和Sn＝2－1.

[答案] 2－1

111

15．(2015·江西九江一模)等差数列{an}中，a1＝，am＝，an＝(m≠n)，则数列

2 015nm{an}的公差为________．

[解析] ∵am＝1

＝，

111111＋(m－1)d＝，an＝＋(n－1)d＝，∴(m－n)d＝－，∴d2 015n2 015mnmnmn∴am＝

111111＋(m－1)＝，解得＝，即d＝. 2 015mnnmn2 0152 0151

2 015

[答案]

16．在等比数列{an}中，2a3－a2a4＝0，若{bn}为等差数列，且b3＝a3，则数列{bn}的前5项和等于________．

52

[解析] a3－2a3＝0，a3≠0，∴a3＝2，b3＝2，bn的前5项和为[答案] 10

b1＋b5

2

＝5b3＝10.