于忠明--数学思想方法

2012年江苏省数学夏令营 数学思想方法选讲

江苏省扬中高级中学 于忠明

前言：数学竞赛是解题的竞赛，只有通过问题才能学会解题。要提高解题能力，必须反复练习，善于总结，寻找各种不同的解法，要找出最佳解法，注重数学的思想和数学的美，注意简捷明快，一针见血。 一、数形结合法

数形结合思想简而言之就是把数学中“数”和数学中“形”结合起来解决数学问题的一种数学思想。数形结合具体地说就是将抽象数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学问题。在中学数学的解题中，主要有三种类型：以“数”化“形”、以“形”变“数”和“数”“形”结合

?11?例1、若f(x)为奇函数，且x?0,f(x)??x2?2x，当x??a,b?时,f(x)??,?,

?ba?求a,b

例2、已知正方形ABCD中心在原点，四个顶点都在函数y?x3?bx的图像上，若正方形唯一确定，求b的值

例3、设k为实常数，若函数f(x)?x3?3kx在?1?x?1范围内取最大值为M(k)，当k在实数范围内变化时，求M(k)的最小值及取最小值时的k的值

?x2?xy?y2?1?例4、已知x,y,z?0且?y2?yz?z2?3求x?y?z的值

?22z?zx?x?4?

二、分类讨论法

分类讨论对题目中字母或自变量的讨论，要搞清为什么要讨论，怎样讨论 例5、解方程：x2?6?x??2?0

x4?kx2?1例6、若k是实数，f(x)?4对任意三个实数a,b,c存在一个以

x?x2?1f(a),f(b),f(c)为三边长的三角形，求k的取值范围

例7、对于函数f(x)，若f(x)?x，则记x为f(x)的“不动点”，若f?f?x???x，

则称x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”集合分别记为A和B，即：A??x|f(x)?x?,B??x|f(f(x))?x? 1）求证：A?B；

2）若f(x)?ax2?1(a,x?R)且A?B??，求实数a的取值范围

三、构造函数法

式子结构相同，可根据条件等式的结构构造方法，这种类型的题目比较灵活

x?x3例8、（1）求y?的最大值.

1?8x2?x4

(2)设x,y是实数，且满足(x?1)3?2003(x?1)??1,(y?1)3?2003(y?1)?1， 求x?y的值

(3)求y?(3x?1)(9x2?6x?5?1)?(2x?3)(4x2?12x?13?1)图象与x轴

的交点坐标

例9、设abc是十进制的三位质数，证明：b2?4ac不是完全平方数。

例10、设a1,a2,b1,b2都是实数，满足?a1?b1??a1?b2???a2?b1??a2?b2??1

求证：?a1?b1??a2?b1???a1?b2??a2?b2???1

例11、设x1?x2?x3?x4?2,x2?x3?x4?x1

证明：(x1?x2?x3?x4)2?4x1x2x3x4