精选2019年中考数学最全真题分类汇编全集之专题19 几何探究型问题(第01期)(解析版)

∴BQ=BC+CQ=1+x，

∵点E、F分别是PQ、PB的中点， ∴EF是△PBQ的中位线， ∴EF?1?x1BQ?，

221?x， 2由①知AP=EF，即1-x?1， 312∴PD?，AP?，

33解得x?在Rt△PDE中，DE?1， 213， 6∴PE?PD2?DE2?∴AP≠PE，

∴四边形AFEP不是菱形．

【名师点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行四边形与菱形的判定、性质等知识点． 5．（2019?江西）在图1，2，3中，已知

ABCD，∠ABC=120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以

AE为边向上作菱形AEFG，且∠EAG=120°．

（1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF=__________°； （2）如图2，连接AF．

①填空：∠FAD__________∠EAB（填“>”“<”“=”）； ②求证：点F在∠ABC的平分线上．

（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求

BC的值． AB

【解析】（1）∵四边形AEFG是菱形，

9

∴∠AEF=180°-∠EAG=60°， ∴∠CEF=∠AEC-∠AEF=60°， 故答案为：60°．

（2）①∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠DAB=180°-∠ABC=60°，

∵四边形AEFG是菱形，∠EAG=120°， ∴∠FAE=60°， ∴∠FAD=∠EAB， 故答案为：=．

②如图，作FM⊥BC于M，FN⊥BA交BA的延长线于N，

则∠FNB=∠FMB=90°， ∴∠NFM=60°，又∠AFE=60°， ∴∠AFN=∠EFM， ∵EF=EA，∠FAE=60°， ∴△AEF为等边三角形， ∴FA=FE，

??AFN??EFM在△AFN和△EFM中，???FNA??FME，

??FA?FE∴△AFN≌△EFM（AAS）

∴FN=FM，又FM⊥BC，FN⊥BA， ∴点F在∠ABC的平分线上． （3）如图，

10

∵四边形AEFG是菱形，∠EAG=120°， ∴∠AGF=60°， ∴∠FGE=∠AGE=30°， ∵四边形AEGH为平行四边形， ∴GE∥AH，

∴∠GAH=∠AGE=30°，∠H=∠FGE=30°， ∴∠GAN=90°，又∠AGE=30°， ∴GN=2AN，

∵∠DAB=60°，∠H=30°， ∴∠ADH=30°， ∴AD=AH=GE，

∵四边形ABCD为平行四边形， ∴BC=AD， ∴BC=GE，

∵四边形ABEH为平行四边形，∠HAE=∠EAB=30°， ∴平行四边形ABEN为菱形， ∴AB=AN=NE， ∴GE=3AB， ∴

BC?3． AB【名师点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的性质、平行四 边形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、菱形的性质、直角三角形的性质是解题的关键．6．（2019?宁夏）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M不与A，B重合），且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x． （1）试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC；

（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；

11

（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．

【解析】（1）∵MQ⊥BC， ∴∠MQB=90°，

∴∠MQB=∠CAB，又∠QBM=∠ABC， ∴△QBM∽△ABC．

（2）当BQ=MN时，四边形BMNQ为平行四边形， ∵MN∥BQ，BQ=MN，

∴四边形BMNQ为平行四边形． （3）∵∠A=90°，AB=3，AC=4， ∴BC?AB2?AC2?5，

∵△QBM∽△ABC，

QBQMBMxQMBM???，即?， ABACBC34545解得，QM?x，BM?x，

33∴

∵MN∥BC，

5MNAM3?x?∴，即MN3， ?BCAB5325x， 解得，MN=5?912543245275x+x）?x??则四边形BMNQ的面积??（5?（x?）?，

2932732324575∴当x?时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为．

3232【名师点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理、二次函数的性质是解题的关键．

7．（2019?安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°．

12