精选2019年中考数学最全真题分类汇编全集之专题19 几何探究型问题（第01期）（解析版）

专题19 几何探究型问题

1．（2019?北京）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果DE上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称DE为△ABC的中内弧．例如，图1中DE是△ABC的一条中内弧．

（1）如图2，在Rt△ABC中，AB=AC?22，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧DE，并直接写出此时DE的长；

（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t>0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点． ①若t?1，求△ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围； 2②若在△ABC中存在一条中内弧DE，使得DE所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．

【解析】（1）如图2，以DE为直径的半圆弧DE，就是△ABC的最长的中内弧DE，连接DE，

∵∠A=90°，AB=AC?22，D，E分别是AB，AC的中点， ∴BC?11AC22??4，DE?BC??4=2，

22sinBsin45?∴弧DE?1?2π=π． 2（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G，

1

①当t?12时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），F（12，1），

设P（

12，m）由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1， ∵OA=OC，∠AOC=90°， ∴∠ACO=45°， ∵DE∥OC，

∴∠AED=∠ACO=45°，

作EG⊥AC交直线FP于G，FG=EF?12， 根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求，∴m?12， 综上所述，m?12或m≥1． ②如图4，设圆心P在AC上，

∵P在DE中垂线上，

∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM?32， ∴P（t，

32）， ∵DE∥BC，

2

∴∠ADE=∠AOB=90°， ∴AE?AD2?DE2?12?(2t)2?4t2?1，

∵PD=PE， ∴∠AED=∠PDE，

∵∠AED+∠DAE=∠PDE+∠ADP=90°， ∴∠DAE=∠ADP， ∴AP=PD=PE?1AE， 2由三角形中内弧定义知，PD≤PM， ∴

13AE?，AE≤3，即4t2?1?3，解得：t?2， 22∵t>0， ∴0

【名师点睛】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题．

2．（2019?天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO=30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD=2． （Ⅰ）如图①，求点E的坐标；

（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′=t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．

①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；

②当3?S≤53时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．

【解析】（Ⅰ）∵点A（6，0），

3

∴OA=6， ∵OD=2，

∴AD=OA-OD=6-2=4， ∵四边形CODE是矩形， ∴DE∥OC，

∴∠AED=∠ABO=30°，

在Rt△AED中，AE=2AD=8，ED?AE2?AD2?82?42?43，

∵OD=2，

∴点E的坐标为（2，43）．

（Ⅱ）①由平移的性质得：O′D′=2，E′D′=43，ME′=OO′=t，D′E′∥O′C′∥OB，∴∠E′FM=∠ABO=30°，

∴在Rt△MFE′中，MF=2ME′=2t，FE′?MF2?ME'2?(2t)2?t2?3t，

S113t2∴△MFE′?2ME′·FE′?2?t?3t?2，

∵S矩形C′O′D′E′=O′D′·E′D′=2×43?83，

=S3t2∴S矩形C′O′D′E′-S△MFE′=83?2，

∴S??32t2

+83，其中t的取值范围是：0

O'A=OA-OO'=6-t，

∵∠AO'F=90°，∠AFO'=∠ABO=30°，

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