21.3实际问题与一元二次方程（教师版）

21.3 实际问题与一元二次方程

同步讲解·新课堂

知识点1 传播/传染问题

1. 传播/传染模型1 最初传播源在以后每一轮仍然传播问题（病毒感染类） 方程模型：传播源×（1+每轮传播人数x）2=最终传染人数

2. 传播/传染模型2 最初传播源在以后每一轮不再传播问题（数值分叉类） 方程模型：

传播源+传播源×每轮传播人数+传播源×每轮传播人数×每轮传播人数=最终传染人数

知识点2 平均增长率（降低率）问题

1.平均增长率问题模型1 最后产量是b表示不累计的量 方程模型：原数×（1+平均增长率）2=新数

即a(1+x)2=b（a表示增长前的原数，b表示增长后的新数，x表示平均增长率） （注意：解方程一般用直接开平方法，注意方程根的取舍问题．）

2.平均增长率问题模型2 最后产量是b表示总共累计的量

方程模型：原数+原数×（1+平均增长率）+原数×（1+平均增长率）2=新数

即a+a(1+x)+a(1+x)2=b（a表示增长前的原数，b表示增长后的新数，x表示平均增长率）

3. 平均降低率模型

原数×（1—平均增长率）2=新数

即a(1—x)2=b（a表示增长前的原数，b表示增长后的新数，x表示平均降低率）

（注意：1与x的位置不能调换，解方程一般用直接开平方法，注意方程根的取舍问题．）

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知识点3 比赛/握手/增贺卡/发微信/问题 1.单循环比赛/握手模型 方程模型：

2.双循环比赛/互赠贺卡模型

方程模型：总人数?总人数-1?总次数

知识点4 营销利润问题（每每型问题） 1.方程模型：总利润=（售价－进价）×销售数量

题干中已知量为进价a元，原售价b元，销量m件，销量随售价提高（降低）d元而减少（增加）c件，获得利润w元.

（1）若设提（降）价x元，方程模型为:

总人数?（总人数-1）?总次数

2??cx）=w dcx②降价提销量：（b－x－a）（m+）=w

d①提价减销量：（b+x－a）（m－（2）若设售价x元，方程模型为:

x?b）]=w db?x②降价提销量：（x－a）[m+c（）]=w

d①提价减销量：（x－a）[m－c（

（3）题干中已知量为盈利a元，销量m件，销量随售价提高（降低）d元而减少（增加）c件，获得利润w元.设提（降）价x元，方程模型为:（a±x）（m?

（要注意题设中“在顾客得实惠的前提下”“减少库存压力”等语句，这是进行答案取舍的重要信息.）

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?cx）=w d知识点5 几何图形面积问题 （1）阴影部分面积

几何模型①（空白部分宽均为x）

方程模型:（a－2x）（b－2x）=阴影部分面积 几何模型②（阴影部分宽均为x）

方程模型:ab－（a－x）（b－x）=阴影部分面积

知识点6 篱笆围墙问题

1.无缺口型的篱笆围墙问题（设垂直墙面长x）

方程模型：（篱笆总长－垂直墙面长×个数）×垂直墙面长=矩形面积 2.有缺口型的篱笆围墙问题（设垂直墙面长x）

方程模型：（篱笆总长+所有缺口长－垂直墙面长×个数）×垂直墙面长=矩形面积

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考点梳理·新认知

考点1 传染问题

例1 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． （1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？

（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 【答案】见解析.

【解析】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人， 根据题意得：1+x+x（x+1）=81，整理，得：x2+2x-80=0， 解得：x1=8，x2=-10（不合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染8个人． （2）81+81×8=729（人）．

答：经过三轮传染后共有729人会患流感． 考点2 树枝分叉问题

例2 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？ 【答案】见解析.

【解析】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个， 根据题意列方程得：1+x+x2=91，解得：x=9或x=-10（不合题意，应舍去）； ∴x=9； 答：每支支干长出9个小分支．

考点3 平均增长率问题（不累计增长量）

例3 互联网给生活带来极大的方便据报道，2016底全球支付宝用户数为4.5亿，2018年底达到9亿．

（1）求平均每年增长率；

（2）据此速度，2020底全球支付宝用户数是否会超过17亿？请说明理由．（参考数据： ?

2≈1.414）

【答案】见解析.

【解析】解：（1）设平均每年增长率为x， 依题意，得：4.5（1+x）2=9， 解得：x1=0.414=41.4%，x2=-2.414（舍去）．

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