高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：变化率与导数、导数的计算

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(1)试求xk与xk－1的关系(k＝2，…，n)； (2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn|. 解：(1)设点Pk－1的坐标是(xk－1,0)， ∵y＝ex，∴y′＝ex，

∴Qk－1(xk－1，exk－1)，在点Qk－1(xk－1，exk－1)处的切线方程是y－exk－1＝exk－1(x－xk－1)，令y＝0，则

xk＝xk－1－1(k＝2，…，n)． (2)∵x1＝0，xk－xk－1＝－1， ∴xk＝－(k－1)， ∴|PkQk|＝exk＝e－(k－1)，

于是有|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn| ＝1＋e－1＋e－2＋…＋e－(n－1) 1－e－ne－e1－n＝＝， 1－1－ee－1

e－e1－ne－1

即|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn|＝.

1．设函数f(x)在x0处可导，则lim →

Δx0

f?x0－Δx?－f?x0?

等于( )

Δx

B．－f′(x0) D．－f(x0)

A．f′(x0) C．f(x0)

f?x0－Δx?－f?x0?

解析：选B lim

ΔxΔx→0＝－lim →

Δx0

f[x0＋?－Δx?]－f?x0?

＝－f′(x0)．

?－Δx?

2．求下列各函数的导数： 1?2(1)(x)′＝x；

2(2)(ax)′＝a2ln x；

(3)(xcos x)′＝cos x＋xsin x；

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x1(4)?x＋1?′＝， ??x＋1其中正确的有( ) A．0个 C．2个

B．1个 D．3个

解析：选B 根据函数的求导公式知只有(1)正确．

3．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a2k)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．

2解析：∵y′＝2x，∴点(ak，a2k)处的切线方程为y－ak＝2ak(x－ak)．又该切线与x轴的交

点为(ak＋1,0)，

11

∴ak＋1＝ak，即数列{ak}是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝.∴a3＝4，a5＝1.∴a1＋a3

22＋a5＝21.

答案：21

b

4．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.

x(1)求f(x)的解析式；

(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

7

解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.

41

当x＝2时，y＝. 2b

又f′(x)＝a＋2，

x

?2a－2＝2，于是?b7

a＋?4＝4，

3故f(x)＝x－. x

b1

??a＝1，解得?

??b＝3.

3

(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋2知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y

x3

1＋2?(x－x0)， －y0＝??x?0

33

x0－?＝?1＋2?(x－x0)． 即y－?x??x??

0

0

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66

0，－?. 令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为?x0??x0令y＝x得y＝x＝2x0.从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．

61

－?|2x0|＝6. 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为?2?x0?故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.