概率论 自测练习题参考答案

1?, y?0,?12 f(y)???(1?y)y?0, y?0.?由密度函数的性质，有

?(X1?X2)2?P??4??2?(X1?X2)???401?(1?y)y12dy?24?arctany0

2?arctan2?0.70。

第七章 自测练习题A

1. （1）? （2）157, 2049 （3）1?e?X （4） 4 （5）310 2. 解 因为

EX?1???2?2?(1??)?3?(1??)?3?2?， x?16(1?1?2?1?3?2)?535322。

令 EX?x，即 3?2??。由此解得

??矩?23。

?的似然函数为

L(?)?(?)[2?(1??)](1??)?4?(1??)，

232284令

dL(?)d?23?32?(1??)?16?(1??)?16?(1??)(2?3?)?0，

23748373由此解得????23。由上式可知，当??时，

dL(?)d??0，当??23时，

dL(?)d??0。因此，

是L(?)的极大值点，也是L(?)的最大值点，所以，?的极大似然估计值为

??l?23。

3. 解 先计算X的期望与方差。

EX??????xf(x,?1,?2)dx?x??1??1?2????1?x??1xe?2?x??1??dx??xe?2?1?????1?x??1e?2dx

???1??2e?2?1??1??2，

x??1x??1??x??1EX2??????xf(x,?1,?2)dx?x??1??21?2????1xex??12??2dx??xe2??2?1?2?????1xe?2dx

???2?2xe21??2?1?2?2?????1e?2dx??1?2?1?2?2?2，

22令

??1??2?X??122(???)???22?1n?n?i?1Xi2

由此解得参数?1,?2的矩估计量为

??1?X?1ni?(Xni?1?X)?X?2B2

??2?B2 设x1,x2,?,xn是总体的一组样本观测值，则?1,?2的似然函数为

??xi?n?1?1?i?1??2, xi??1, i?1,2,?,n, L(?1,?2)??n?e??2??0, 其它n当xi??1(i?1,2,?,n)时，有

n?xlnL??nln?2?i?1i?n?1?2，

令

n?lnL??2??n?x?i?1i?n?122?2??0，

从而

?2?1nn?xi?1i??1。

由于lnL对?1的偏导数不能等于零，故只能从似然函数本身求?1的估计。因L(?1,?2)是?1的增函数，且?1?xi (i?1,2,?,n)，显然，当固定?2时，?1?min?xi?使L(?1,?2)达

1?i?n到最大值，由此得?1，?2的极大似然估计值为

??1?min?xi?，

1?i?n??2?x?min?xi?

1?i?n故?1，?2的极大似然估计量为

??1?min?Xi?，??2?X?min?Xi?.

1?i?n1?i?n

4. 解 由于?2未知，故平均重量?的置信度为0.95的置信区间为

ss??X?t(n?1),X?t(n?1)0.0250.025??

nn??由已知 n?12，x?504.58，s?12.873，查表，得t0.025(11)?2.201。由此得?的置信度为0.95的置信区间为 (496.40,512.76)。

5. 解 对于两正态总体，其方差比的置信度为1??的置信区间为

22?S1S1,?2?SF(n?1,n?1)S2F(n1?1,n2?1)221??2?2?21??， ??2由题设 n1?13，n2?10，??0.1，?2?0.05；s12?0.7241，s2?0.6872。查表，

得

F0.05(12,9)?2.80，F0.95(12,9)?1F0.05(9,12)?13.07?0.3257，

22由此可得，方差比?1?2的置信度为0.90的置信区间为 (0.3763,3.2352)。

6. 解 由于S2是?2的无偏估计，取样本函数为

2??(n?1)S2?2~?(n?1)，

2由于P????221???(n?1)S2?2??(n?1)(n?1)??1??，即P???1?? 1??2???由此得?2的置信度为1??的单侧置信区间为

2?(n?1)S??0,2?。 ??1??(n?1)?