三次函数的图象与性质

（1）以点P为切点的切线有一条.方程为y?y0?f?(x0)(x?x0)；

?,y0?)为切点并过点P的切线，方程为因切线过点P，所以（2）以不同于点P的点M(x0??f?(x0?)(x0?x0?)，化简得： y0?y022?2?(b?ax0)x0??(ax02ax0?bx0)?0 , ??(b?ax0)2?8a(ax0?bx0)?(3ax0?b)2，当x0??b3a??x0（舍去）时，解得x0，即x0??bb??x0（舍时这种切线不存在；当x0??时，解得x03a3a???去），x0bx0b?，即x0??时这种切线存在1条。于是有： 2a23ab)时，过点P的切线有且仅有1条，即以点P为切点的3ab)时，过点P的切线有且仅有2条，且它们的切点分3a当点P是拐点(即x0??切线；当点P不是拐点(即x0??别为点P和点M(?bx0bx?,f(??0))。 2a22a2例1. 2010年高考湖北卷文科压轴题第21题：

1a设函数f(x)?x3?x2?bx?c,其中a＞0，曲线y?f(x)在P(0f(0))处的切线方程为y?1。

32（1）确定b,c 的值；

（2）设曲线y?f(x)在点(x,f(x))及(x2,f(x2))处的切线都过点（0，2）。证明：当x2?x2时，f?(x1)?f?(x2)。

解（1）略

1a（2）由f(x)?x3?x2?1，得f'(x)?x2?ax

32由于点（t,f(t)）处的切线方程为y?f(t)?f'(t)(x?t),而点（0.2）在切线上，所以2a2a2?f(t)?f(t)'(?t),化简得t3?t2?1?0,即t满足的方程为t3?t2?1?0

3232下面用反证法证明：

假设f?(x1)?f?(x2)，由于曲线y?f(x)在点(x1,f(x1))及(x2,f(x2))处的切线都过点（0.2），则下列等式成立：

23a223a22?ax2 ③ x?x?1?0 ① x?x?1?0 ② x12?ax1?x23121322232由③得x1?x2?a. 由①-②得x12?x1x2?x2?a2④

4

a332又x12?x1x2?x2?(x1?x2)2?x1x2?a2?x1(a?x1)?x12?ax1?a2?(x1?)2?a2?a2.

244故由④得x1?aa，此时x2?与x1?x2矛盾.所以f?(x1)?f?(x2). 22例 ２ 已知f(x)?x3?bx2?cx?d在(??,0)上是增函数，在[0.2]上是减函数，且方程

f(x)?0有三个根，它们分别为a、 2、?。(1)求c的值；（2）求证: f(1)?2（3）求│a??│的取值范围。

解 (1) f?(x)?3ax2?2bx?c,由题意可得：x?0为f(x)的极值点，?f?(0)?0,?c?0. (2)令f?(x)?3x2?2bx?0，得x1?0,x2??2b， 32b?2.即b??3. 3?f(x)在(??,0)上是增函数，在[0.2]上是减函数，??又?f(2)?0,?8?4b?d?0,?d??8?4b.

?f(1)?1?b?d??7?3b?2.

(3)?方程f(x)?0有三个根a、 2、?

?设f(x)?x3?bx2?cx?d?(x?2)(x2?mx?n)，

由待定系数法得m?b?2.n??d， 2d?0的两根， 2?a、2、?为方程x2?(b?2)x??a????(b?2),a???2d： 2?a???(b?2)2?2d?b2?4b?12 =(b?2)2?16. ?b??3,?a???9 ?a??223?

1例 ３ 已知函数f(x)?x3?x2?bx?c.

2(1)若f(x)的图象有与x轴平行的切线，求b的取值范围：

(2)若f(x)在x?1时取得极值，且x??1?,2?时，f(x)＜c2恒成立，求c的取值范围. 解 (1)设切点p(x0,y0)，则f(x)在P点的切线的斜率k?f?(x0)?3x02?x0?b.， 由题意，f'(x0)?3x02?x0?b.?0有解。???1?12b?0,解得。

?f(x)在x?1时取得极植 ?x?1为方程f'(x)3x2?x?b?0的一个根?b??2 （2）

?由3x2?x?2?0可得f'(x)?0的另一根为x2??2。 3

222或x?1时，f'(x)?0，?当x???????时，f(x)在??????递增，(?,1)递333222减，?????递增。?f(x)在区间??????有极大值f(?)=?c,又f(2)?2?c。?当

327当x??2x???????时f(x)有最大值f(2)?2?c ?f(x)?2c恒成立 ? 2?c?c恒成立

?c???或c?2

参考文献：

?1?华东师范大学数学系.数学分析(第三版).北京：高等教育出版社. ?M?2003

?2?袁拥军: 三次函数图象的四种类型. ?J?数理天地.2005(4) ?3?付玉泉：三次函数对称中心的讨论. ?J?文理导航.2011(8)

?4?寿阿根:对三次函数基本性质的探求. ?J?绍庆文理学院学报.2007(11)