高中数学人教版选修2-2第三章《数系的扩充与复数的引入》单元设计

复数

一、知识体系梳理

二、基础知识测试

1．复数的概念：（1）虚数单位i；（2）复数的代数形式z=a+bi，(a, b∈R)； （3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。 2．复数集

???整 数有 理 数???实数(b?0)???分 数??复 数a?bi(a,b?R)?小数)?无理数(无限不循环? 虚 数(a?0)?虚 数(b?0)?纯?? 虚 数(a?0)?非 纯?

3．复数a+bi(a, b∈R)由两部分组成，实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部，1与i分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi就是实数，当b≠0时，a+bi是虚数，其中a=0且b

≠0时称为纯虚数。

应特别注意，a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。 4．复数的四则运算

若两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i， （1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i； （2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i； （3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i；

z1(a1a2?b1b2)?(a2b1?a1b2)i?22za?b222（4）除法：；

（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。 （6）特殊复数的运算：

ni① (n为整数)的周期性运算； ②(1±i)2 =±2i；

31③ 若ω=-2+2i，则ω3=1，1+ω+ω2=0.

5．共轭复数与复数的模

（1）若z=a+bi，则z?a?bi，z?z为实数，z?z为纯虚数(b≠0).

222z?z?|z|a?b（2）复数z=a+bi的模|Z|=, 且=a2+b2.

6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d∈R，两个复数a+bi和c+di相等规定为

?a?c?a?0???b?d??b?0. ?a+bi=c+di. 由这个定义得到a+bi=0

两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。

7．复数a+bi的共轭复数是a－bi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0，则实数a与实数a共轭，表示点落在实轴上。

8．复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i2=－1结合到实际运算过程中去。如(a+bi)(a－bi)= a2+b2

9．复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商。

由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将分母实化得到，即

a?bic?di?(a?bi)(c?di)ac?bd?(bc?ad)i(c?di)(c?di)?c2?d2.

10．复数a+bi的模的几何意义是指表示复数a+bi的点到原点的距离。 二、高考考点：

1.复数的基本概念、复数的四则运算 2.复数的相等条件 三、高考真题

1.设复数z满足(1-i)z=2 i,则z= ( ) A.-1+i B.-1-i C.1+i D.1-i 2.

1?2i(1?i)2?

（ ）

A. ?1?12i

B. ?1?12i C. 1?12i D. 1?12i 3．如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是（ A.A B.B C.C D.D 4.已知i是虚数单位,则(-1+i)(2-i)= ( ) xACA.-3+i B.-1+3i C.-3+3i

D.-1+i

BOy5.

2D1?i?（ ） A.22 B.2 C.2 D.1 6. ?1+3i?3?（ ）

A.?8 B.8 C.?8i D.8i

）7.已知i是虚数单位,则(2+i)(3+i)= ( ) A.5-5i

B.7-5i

C.5+5i D.7+5i

8.复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位)，则z的共轭复数z为(

)

A.2+i

B.2-i

C. 5+i

D.5-i

9.若复数z满足(3?4i)z?|4?3i|，则z的虚部为（ ） A.

?4 B. ?45 C.

4 D.

45 10.复数z?(2?i)2i(i为虚数单位)，则|z|?（ ） A.25 B.

41 C.5 D.5

11. 设z1, z2是复数, 则下列命题中的假命题是 ( ) A. 若|z1?z2|?0, 则z1?z2 B. 若z1?z2, 则z1?z2

C. 若z1?z2, 则z1·z1?z2·z2 D. 若z1?z2, 则z21?z22

12.设z是复数, 则下列命题中的假命题是 ( ) A. 若z2?0, 则z是实数 B. 若z2?0, 则z是虚数

C. 若z是虚数, 则z2?0

D. 若z是纯虚数, 则z2?0

13.复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

14.已知集合M={1，2，zi},i为虚数单位，N=｛3，4｝，M∩N=｛4｝，则复数z= ( A. -2i B. 2i

C. -4i

D.4i

15.复数z=i（-2-i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在（ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

16.设i_是虚数单位，z是复数z的共轭复数，若z?zi?2?2z ，则z= （ ）

)