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高中数学人教版选修2-2第三章《数系的扩充与复数的引入》单元设计

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  • 2025/7/5 15:23:03

复数

一、知识体系梳理

二、基础知识测试

1.复数的概念:(1)虚数单位i;(2)复数的代数形式z=a+bi,(a, b∈R); (3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。 2.复数集

???整 数有 理 数???实数(b?0)???分 数??复 数a?bi(a,b?R)?小数)?无理数(无限不循环? 虚 数(a?0)?虚 数(b?0)?纯?? 虚 数(a?0)?非 纯?

3.复数a+bi(a, b∈R)由两部分组成,实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部,1与i分别是实数单位和虚数单位,当b=0时,a+bi就是实数,当b≠0时,a+bi是虚数,其中a=0且b

≠0时称为纯虚数。

应特别注意,a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件,若a=b=0,则a+bi=0是实数。 4.复数的四则运算

若两个复数z1=a1+b1i,z2=a2+b2i, (1)加法:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i; (2)减法:z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i; (3)乘法:z1·z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i;

z1(a1a2?b1b2)?(a2b1?a1b2)i?22za?b222(4)除法:;

(5)四则运算的交换率、结合率;分配率都适合于复数的情况。 (6)特殊复数的运算:

ni① (n为整数)的周期性运算; ②(1±i)2 =±2i;

31③ 若ω=-2+2i,则ω3=1,1+ω+ω2=0.

5.共轭复数与复数的模

(1)若z=a+bi,则z?a?bi,z?z为实数,z?z为纯虚数(b≠0).

222z?z?|z|a?b(2)复数z=a+bi的模|Z|=, 且=a2+b2.

6.根据两个复数相等的定义,设a, b, c, d∈R,两个复数a+bi和c+di相等规定为

?a?c?a?0???b?d??b?0. ?a+bi=c+di. 由这个定义得到a+bi=0

两个复数不能比较大小,只能由定义判断它们相等或不相等。

7.复数a+bi的共轭复数是a-bi,若两复数是共轭复数,则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0,则实数a与实数a共轭,表示点落在实轴上。

8.复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别,最主要的是在运算中将i2=-1结合到实际运算过程中去。如(a+bi)(a-bi)= a2+b2

9.复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商。

由于两个共轭复数的积是实数,因此复数的除法可以通过将分母实化得到,即

a?bic?di?(a?bi)(c?di)ac?bd?(bc?ad)i(c?di)(c?di)?c2?d2.

10.复数a+bi的模的几何意义是指表示复数a+bi的点到原点的距离。 二、高考考点:

1.复数的基本概念、复数的四则运算 2.复数的相等条件 三、高考真题

1.设复数z满足(1-i)z=2 i,则z= ( ) A.-1+i B.-1-i C.1+i D.1-i 2.

1?2i(1?i)2?

( )

A. ?1?12i

B. ?1?12i C. 1?12i D. 1?12i 3.如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是( A.A B.B C.C D.D 4.已知i是虚数单位,则(-1+i)(2-i)= ( ) xACA.-3+i B.-1+3i C.-3+3i

D.-1+i

BOy5.

2D1?i?( ) A.22 B.2 C.2 D.1 6. ?1+3i?3?( )

A.?8 B.8 C.?8i D.8i

)7.已知i是虚数单位,则(2+i)(3+i)= ( ) A.5-5i

B.7-5i

C.5+5i D.7+5i

8.复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位),则z的共轭复数z为(

)

A.2+i

B.2-i

C. 5+i

D.5-i

9.若复数z满足(3?4i)z?|4?3i|,则z的虚部为( ) A.

?4 B. ?45 C.

4 D.

45 10.复数z?(2?i)2i(i为虚数单位),则|z|?( ) A.25 B.

41 C.5 D.5

11. 设z1, z2是复数, 则下列命题中的假命题是 ( ) A. 若|z1?z2|?0, 则z1?z2 B. 若z1?z2, 则z1?z2

C. 若z1?z2, 则z1·z1?z2·z2 D. 若z1?z2, 则z21?z22

12.设z是复数, 则下列命题中的假命题是 ( ) A. 若z2?0, 则z是实数 B. 若z2?0, 则z是虚数

C. 若z是虚数, 则z2?0

D. 若z是纯虚数, 则z2?0

13.复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

14.已知集合M={1,2,zi},i为虚数单位,N={3,4},M∩N={4},则复数z= ( A. -2i B. 2i

C. -4i

D.4i

15.复数z=i(-2-i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

16.设i_是虚数单位,z是复数z的共轭复数,若z?zi?2?2z ,则z= ( )

)

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复数 一、知识体系梳理 二、基础知识测试 1.复数的概念:(1)虚数单位i;(2)复数的代数形式z=a+bi,(a, b∈R); (3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。 2.复数集 ???整 数有 理 数???实数(b?0)???分 数??复 数a?bi(a,b?R)?小数)?无理数(无限不循环? 虚 数(a?0)?虚 数(b?0)?纯?? 虚 数(a?0)?非 纯? 3.复数a+bi(a, b∈R)由两部分组成,实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部,1与i分别是实数单位和虚数单位,当b=0时,a+bi就是实数,当b≠0时,a+bi是虚数,其中a=0且b≠0时称为纯虚数。 应特别注意,a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件,若a=b=0,则a+bi=0是实数。

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