[强烈推荐]2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解

所以 (5n?2)an?3?(10n?4)an?2?(5n?2)an?1?0. 又因为 5n?2?0，

所以 an?3?2an?2?an?1?0， 即 an?3?an?2?an?2?an?1，n?1. 所以数列?an?为等差数列. 方法2

由已知，得S1?a1?1，

又(5n?8)Sn?1?(5n?2)Sn??20n?8，且5n?8?0， 所以数列?Sn?是唯一确定的，因而数列?an?是唯一确定的. 设bn?5n?4，则数列?bn?为等差数列，前n项和Tn?

于是 (5n?8T)n?1?n(5?T2?n?(5n)n(5n?3). 2(n?1)(n5?8)22)nn(?53) ?n?(52)??n?，2028由唯一性得 bn?an，即数列?an?为等差数列. （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，an?1?5(n?1)?5n?4. 要证

5amn?aman?1，

只要证 5amn?1?aman?2aman. 因为 amn?5mn?4，aman?(5m?4)(5n?4)?25mn?20(m?n)?16， 故只要证 5(5mn?4?)?1mn25?即只要证 20m?2n0?3?7m2?0n(?)?1a6man2，

a2man. 因为 2aman?am?an?5m?5n?8 ?5m?5n?8?(15m?15n?29)

?20m?20n?37，

所以命题得证.

31.（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为(x,y).

由P(x,y)在椭圆上，得

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b22|F1P|?(x?c)?y?(x?c)?b?2xa

c?(a?x)2.a2222由x?a,知a?ccx??c?a?0，所以 |F1P|?a?x.………………………3分

aa证法二：设点P的坐标为(x,y).记|F1P|?r1,|F2P|?r2,

则r1?(x?c)2?y2,r2?(x?c)2?y2.

cx. ac证法三：设点P的坐标为(x,y).椭圆的左准线方程为a?x?0.

a22由r1?r2?2a,r1?r2?4cx,得|F1P|?r1?a?

2cac|FP|c由椭圆第二定义得，即|F1P|?|x?1|?|a?x|. ?acaaa2|x?|c

由x??a,知a?ccx??c?a?0，所以|F1P|?a?x.…………………………3分

aa（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为(x,y).

当|PT|?0时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上.

当|PT|?0且|TF2|?0时，由|PT|?|TF2|?0，得PT?TF2. 又|PQ|?|PF2|，所以T为线段F2Q的中点. 在△QF1F2中，|OT|?1|F1Q|?a，所以有x2?y2?a2. 2222综上所述，点T的轨迹C的方程是x?y?a.…………………………7分 解法二：设点T的坐标为(x,y). 当|PT|?0时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上.

当|PT|?0且|TF2|?0时，由PT?TF2?0，得PT?TF2. 又|PQ|?|PF2|，所以T为线段F2Q的中点. x??c?x?,??2设点Q的坐标为（x?,y?），则 ??y?y?.?2?

?x??2x?c,因此? ①

?y?2y.?第４２页

由|F1Q|?2a得(x??c)2?y?2?4a2. ② 将①代入②，可得x2?y2?a2.

综上所述，点T的轨迹C的方程是x2?y2?a2.……………………7分

（Ⅲ）解法一：C上存在点M（x0,y0）使S=b2的充要条件是

22?x0?y0?a2, ? ?12??2c|y0|?b.?2③ ④

2b2. 所以，当a?b时，存在点M，使S=b2； 由③得|y0|?a，由④得|y0|?cc2b当a?时，不存在满足条件的点M.………………………11分 c2b当a?时，MF1?(?c?x0,?y0),MF2?(c?x0,?y0)， c222222由MF1?MF2?x0?c?y0?a?c?b，

MF1?MF2?|MF1|?|MF2|cos?F1MF2，

S?1|MF1|?|MF2|sin?F1MF2?b2，得tan?F1MF2?2. 22解法二：C上存在点M（x0,y0）使S=b的充要条件是

22③ ?x0?y0?a2, ? ?12??2c|y0|?b.④ ?2

b2b4b2b222. 上式代入③得x0?a?2?(a?)(a?)?0. 由④得|y0|?cccc22b于是，当a?时，存在点M，使S=b；

c2b当a?时，不存在满足条件的点M.………………………11分 c

2y0y0b当a?时，记k1?kFM?， ,k?k?2F2M1cx0?cx0?c由|F1F2|?2a,知?F1MF2?90?，所以tan?F1MF2?|k1?k2|?2.…………14分

1?k1k232.（Ⅰ）解：m?f(x0)?x0f?(x0).…………………………………………2分

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（Ⅱ）证明：令h(x)?g(x)?f(x),则h?(x)?f?(x0)?f?(x),h?(x0)?0. 因为f?(x)递减，所以h?(x)递增，因此，当x?x0时,h?(x)?0；

当x?x0时,h?(x)?0.所以x0是h(x)唯一的极值点，且是极小值点，可知h(x)的

最小值为0，因此h(x)?0,即g(x)?f(x).…………………………6分

（Ⅲ）解法一：0?b?1，a?0是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. x2?1?ax?b,即x2?ax?(1?b)?0对任意x?[0,??)成立的充要条件是 a?2(1?b).

另一方面，由于f(x)?3x3满足前述题设中关于函数y?f(x)的条件，利用（II）的结果可知，

22212233的充要条件是：过点（0，b）与曲线33相切的直线的斜率大于a，该切线的方程为ax?b?xy?x22y?(2b)?12x?b.

2

于是ax?b?3x3的充要条件是a?(2b)2.…………………………10分

21

3综上，不等式x?1?ax?b?x3对任意x?[0,??)成立的充要条件是

222

(2b)?12?a?2(1?b). ①

?1212显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式(2b)?2(1?b). ②

12有解、解不等式②得2?2?b?2?2. ③

44因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分

（Ⅲ）解法二：0?b?1,a?0是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. x?1?ax?b,即x?ax?(1?b)?0对任意x?[0,??)成立的充要条件是 a?2(1?b).………………………………………………………………8分

2333令?(x)?ax?b?x，于是ax?b?x3对任意x?[0,??)成立的充要条件是 2212222

?(x)?0. 由??(x)?a?x?13?0得x?a?3.

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