西藏拉萨市2019-2020学年中考数学模拟试题(2)含解析

题的关键是求出直线和抛物线的交点坐标.

27．45°发现：（1）1，60°；（2）23；拓展：（1）相切，理由详见解析；（2）；30°；（3）0°＜α＜30°或 45°≤α＜90°． 【解析】 【分析】

发现：（1）利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到AB的距离；利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出∠ABA′．

（2）根据切线的性质得到∠OBA′=90°，从而得到∠ABA′=120°，就可求出∠ABP，进而求出∠OBP=30°．过点O作OG⊥BP，垂足为G，容易求出OG、BG的长，根据垂径定理就可求出折痕的长． 拓展：（1）过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．用含30°角的直角三角形的性质可得OD=A'H=

11A'N=MN=2可判定A′C与半圆相切； 221MN，2?时，（2）当NA′与半圆相切时，可知ON⊥A′N，则可知α=45°，当O′在PB连接MO′，则可知NO′=

可求得∠MNO′=60°，可求得α=30°；

（3）根据点A′的位置不同得到线段NO′与半圆O只有一个公共点N时α的取值范围是0°＜α＜30°或45°≤α＜90°． 【详解】

发现：（1）过点O作OH⊥AB，垂足为H，如图1所示,

∵⊙O的半径为2，AB=23， ∴OH=OB2?HB2=22?(3)2?1 在△BOH中，OH=1，BO=2 ∴∠ABO=30°

∵图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′． ∴∠OBA′=∠ABO=30° ∴∠ABA′=60°

（2）过点O作OG⊥BP，垂足为G，如图2所示．

∵BA′与⊙O相切，∴OB⊥A′B．∴∠OBA′=90°． ∵∠OBH=30°，∴∠ABA′=120°． ∴∠A′BP=∠ABP=60°． ∴∠OBP=30°．∴OG=

1OB=1．∴BG=3． 2∵OG⊥BP，∴BG=PG=3． ∴BP=23．∴折痕的长为23 拓展：（1）相切．

分别过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．如图3所示， ∵A'C∥MN

∴四边形A'HOD是矩形 ∴A'H=O

∵α=15°∴∠A'NH=30 ∴OD=A'H=

11A'N=MN=2 22∴A'C与半圆

（2）当NA′与半圆O相切时，则ON⊥NA′， ∴∠ONA′=2α=90°， ∴α=45

?上时，连接MO′，则可知NO′=当O′在PB∴∠O′MN=0° ∴∠MNO′=60°， ∴α=30°，

故答案为：45°；30°．

1MN， 2（3）∵点P，M不重合，∴α＞0，

由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，

∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段NO′与半圆只有一个公共点B； 当α增大到45°时NA′与半圆相切，即线段NO′与半圆只有一个公共点B． 当α继续增大时，点P逐渐靠近点N，但是点P，N不重合， ∴α＜90°，

∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B． 综上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°． 【点睛】

本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、三角函数的定义、30°角所对的直角边等于斜边的一半、翻折问题等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．