正交实验

三个3水平的因子，做全面试验需要3*3*3=27次试验，现用L9(只要做9次，工作量减少了2/3，而在一定意义上代表了27次试验.。 再看一个用L9(

)安排四个3水平因子的例子。

)来设计试验方案，

[例2]某矿物气体还原试验中，要考虑还原时间(A)、还原温度(B)、气体流速(C)、还原气体比例(D)这四个因子对全铁合量X〔越高越好)、金属化率Y(越高越好)、二氧化钛含量Z(越低越好)这三项指标的影响。希望通过试验找出主要影响因素，确定最适工艺条件。 首先根据专业知以确定各因子的水平： 时间：A1=3(小时)，A2=4(小时)，A3=5(小时) 温度：B1=1000(℃)，B2=1100(℃)，B3=1200(℃)

流速：Cl=600(毫升/分)，C2=400( C3=800(毫升/分)

CO:H2：D1=1:2，D2=2:1，D3=1:1

毫升/分)，

这是四因子3水平的多指标(X、Y、Z)问题，如果做全面试验需3^4=81次试验，而用L9(

)来做只要9次。具体安排如表3。同全面试验比较，工作量少了8/9。由于缩短了试验周期，可以提高试验精度，时间越长误差干扰越大。并且对于多指标问题，采用简单对比法，往往顾此失彼，最适工艺条件很难找；而应用正交表来设计试验时可对各指标通盘考虑，结论明确可靠。

数据分析

正交表的另一个好处是简化了试验数据的计算分折。还是以[例1]为例来说明。按照表2的试验方案进行试验，测得9个转化率数据，见表4。

通过9次试验，我们可以得两类收获。

第一类收获是拿到手的结果。第9号试验的转化率为64，在所做过的试验中最好，可取用之。因为通过L9(

)已经把试验条件均衡地打散到不同的部位，代表性是好的。假如

没有漏掉另外的重要因素，选用的水平变化范围也合适的话，那么，这9次试验中最好的结果在全体可能的结果中也应该是相当好的了，所以不要轻易放过。

第二类收获是认识和展望。9次试验在全体可能的条件中(远不止3^3=27个组合，在试验范围内还可以取更多的水平组合)只是一小部分，所以还可能扩大。精益求精。寻求更好的条件。利用正交表的计算分折，分辨出主次因素，预测更好的水平组合，为进一步的试验提供有份量的依据。

其中I、Ⅱ、Ⅲ分别为各对应列（因子）上1、2、3水平效应的估计值，其计算式是： Ⅰi(Ⅱi,Ⅲi)=第i列上对应水平1（2，3）的数据和

K1 为1水平数据的综合平均=Ⅰ/水平1的重复次数 Si为变动平方和=

[例1]的转化率试验数据与计算分析见表4。

先考虑温度对转比率的影响。但单个拿出不同温度的数据是不能比较的，因为造成数据差异的原因除温度外还有其他因素。但从整体上看，80℃时三种反应时间和三种用碱量全遇到了，85℃时、90℃时也是如此。这样，对于每种温度下的三个数据的综合数来说，反应时间与加碱量处于完全平等状态，这时温度就具有可比性。所以算得三个温度下三次试验的转化率之和：

80℃：ⅠA=xl+x2+x3=31+54+38=123； 85℃：ⅡA=x4+x5+x6=53+49+42=144； 90℃：ⅢA=x7+x8+x9=57+62+64=183。

分别填在A列下的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三行。再分别除以3，表示80℃、85℃、90℃时综合平均意义下的转化率，填入下三行Kl、K2、K3。R行称为极差，表明因子对结果的影响幅度。 同样地，为了比较反应时间；用碱量对转化率的影响，也先算出同一水平下的数据和IB、ⅡB、ⅢB，Ic、Ⅱc、Ⅲc，再计算其平均值和极差。都填入表4中；

由此分别得出结论：温度越高转化率越好，以90℃为最好，但可以进一步探索温度更好的情况。反应时间以120分转化率最高。用碱量以6%转化率最高。所以最适水平是A3B2C2。

正交试验的方差分析 (一)假设检验

在数理统计中假设检验的思想方法是：提出一个假设，把它与数据进行对照，判断是否舍弃它。其判断步骤如下：

(1)设假设H。正确，可导出一个理论结论，设此结论为R。； (2)再根据试验得出一个试验结论，与理论结论相对应，设为R1；

(3)比较R。与Rl，若R。与Rl没有大的差异，则没有理由怀疑H。，从而判定为：\不舍弃H。\采用H。)；若R。与R1有较大差异，则可以怀疑H。，此时判定为：\舍弃H。\。

但是，R1/R。比l大多少才能舍弃H。呢？为确定这个量的界限，需要利用数理统计中关于F分布的理论。

若yl服从自由度为φ1的χ2分布，y2服从自由度为φ2的χ2分布，并且yl、y2相互独立，则（y1/φ1）/(y2/φ2)服从自由度为(φ1，φ2)的F分布。F分布是连续分布，分布模数是两个自由度(φ1，φ2)。称φ1为分子自由度，称φ2为分母自由度。在自由度为(φ1，φ2)的F分布中，某点右侧面积为p，也就是F比此值大的概率为p，把这个值写为 (p)。若检验的显著性水平(或危险率)给定为α时，则可以把 (α)作为临界值来检验假设。

这里，Se/σ2服从自由度为φe，的χ2分布；当H。成立，σ2=0时，SA/σ2也服从自由度为φA的χ2分布；又SA与Se相互成立，所以(SA/(φAσ2)/ Se/(φeσ2))=VA/Ve服从自由度为(φA，φe)的F分布。这就是假定H。正确时的理论结论R。。而试验结论Rl要与理论结论R。相比较。由给定的显著性水平，通常是α=0．05；分子自由度φ1=φA=a-l，

分母自由度φ2=φe=a(n-1)；查F分布表得出 (α)。所以H。：αl=α2=……=αa=0(σA2=0)的检验是：(显著性水平α) FA=VA/Ve> (α) → 舍弃H。 FA=VA/Ve≤ (α) → 不舍弃H。

通常， (α)一般性地表示成Fα（φA,φB）。

假设因子A对试验结果的影响不显著，那么A的两个水平的效应该表现为相等或相近，即假设H。：α1=α2=0。如果因子A显著，则舍弃假设。

为了判断因子A是否显著，首先要计算比值显然，这个比值越大，因子A对指标的影响越显著；反之，因子A就不显著。在给定置信度α后，如α=0.05，查F分布表，自由度φA是因子A的，自由度φe是误差的，其临界值Fα(φA,φe)，如果FA>Fα(φA,φe)就舍弃假设，可以认为因子A是显著的；如果FA≤Fα(φA,φe)就没有理由否定假设，而只能认为因子A是不显著的。因为按照F分布表的物理念义，F值小于Fα(φA,φe)的概率是95%，即有95%的机会出现小于Fα(φA,φe)的F值，既然出现了这种情况，就有了95%的把握，所以就没有理由否定假设，只能接受假设，认为因子A不显著。另一方面，F值大于Fα(φA,φe)的概率是5%，也就是只有5%的机会出现大于Fα(φA,φe)的F值，这是小概率事件，如果小概率事件居然发生了，则可认为情况异常，假设不可信，必须否定假设，因子A是显著的。对其他因子的显著性检验完全类似。

(二)方差分析表

由总平方和与各因素平方和即可求得误差平方和，亦称剩余平方和。是总平方和减各因素平方和所得。如正交表有一空列，则该列的平方和就是误差平方和。但在正交表饱和试验的情况下，即所有各列全部排满时，误差平方和一般用各因素平方和中几个最小的平方和之和来代替，同时，这几个因素不再作进一步的分析。 自由度：φT=试验次数一1 φA,B…=水平数一1 φA×B=φA×φB

φe=φT-φA-φB-……-φD