高考数学文科二轮复习 专题二第1讲三角函数的图象与性质案

π1π＋φ?＝2cos φ，即sin φ<，结合选项，φ＝－. 故有2sin 2φ<2sin??2?28答案 C

探究提高 此类题属于三角函数性质的逆用，解题的关键是借助于三角函数的图象与性质列出含参数的不等式，再根据参数范围求解.或者，也可以取选项中的特殊值验证. 【训练2】 (2017·浙江卷)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－23sin xcos x(x∈R). 2π?(1)求f??3?的值；

(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间. 解 (1)f(x)＝sin2x－cos2x－23sin xcos x π

2x＋?， ＝－cos 2x－3sin 2x＝－2sin?6??2π??4π＋π?＝2. 则f?＝－2sin?3??36?(2)f(x)的最小正周期为π. 由正弦函数的性质得

ππ3π

令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

262π2π

得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.

63

π2π

kπ＋，kπ＋?，k∈Z. 所以函数f(x)的单调递增区间为?63??热点三 三角函数图象与性质的综合应用

【例3】 (2017·西安调研)已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋23sin2ωx－3(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求函数f(x)的单调递增区间.

π

(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若y

6＝g(x)在[0，b](b>0)上至少含有10个零点，求b的最小值. 解 (1)f(x)＝2sin ωxcosωx＋3(2sin2ωx－1) π2ωx－?. ＝sin 2ωx－3cos 2ωx＝2sin?3??由最小正周期为π，得ω＝1， π

2x－?， 所以f(x)＝2sin?3??πππ

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

232

π5π

整理得kπ－≤x≤kx＋，k∈Z，

1212

π5π

kπ－，kπ＋?，k∈Z. 所以函数f(x)的单调递增区间是?1212??

π

(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到y＝2sin 2x＋1的图象；

6所以g(x)＝2sin 2x＋1.

7π11π

令g(x)＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)，

1212

所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y＝g(x)在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可.

11π59π

所以b的最小值为4π＋＝. 1212

探究提高 1.研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B(或y＝Acos(ωx＋φ)＋B)的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解.

2π

2.函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝.应特别注意y＝|Asin(ωx＋φ)|

|ω|π

的最小正周期为T＝. |ω|

πππωx－?＋sin?ωx－?，其中0＜ω＜3，已知f??＝【训练3】 (2017·山东卷)设函数f(x)＝sin?6?2????6?0. (1)求ω；

(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左π3ππ

－，?上的最小值. 平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在??44?4ππ

ωx－?＋sin?ωx－?， 解 (1)因为f(x)＝sin?6?2???所以f(x)＝＝

31

sin ωx－cos ωx－cos ωx 22

3313

sin ωx－cos ωx＝3?sin ωx－cos ωx? 222?2?

π

ωx－?. ＝3sin?3??π?由题设知f??6?＝0， ωππ

所以－＝kπ，k∈Z，

63故ω＝6k＋2，k∈Z. 又0＜ω＜3，所以ω＝2.

π2x－?， (2)由(1)得f(x)＝3sin?3??

πππx＋－?＝3sin?x－?. 所以g(x)＝3sin??43??12?π3ππ2ππ

－，?，所以x－∈?－，?， 因为x∈??44?12?33?πππ3

当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－.

12342

1.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的图象求解析式 ymax－yminymax＋ymin

(1)A＝，B＝. 222π

(2)由函数的周期T求ω，ω＝.

T(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ. 2.运用整体换元法求解单调区间与对称性

类比y＝sin x的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”，采用整体代入求解.

π

(1)令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得对称轴方程；

2(2)令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标；

(3)将ωx＋φ看作整体，可求得y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，注意ω的符号. 3.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的性质及应用的求解思路

第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B(一角一函数)的形式；

第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.

一、选择题

1.(2017·山东卷)函数y＝3sin 2x＋cos 2x的最小正周期为( ) πA. 2C.π

解析 ∵y＝2?

2πB. 3D.2π

π31?2x＋?， sin 2x＋cos 2x＝2sin ?6??2?2?

2π∴T＝＝π.

2答案 C

ππ

2x－?图象上的点P?，t?向左平移s(s＞0)个单位长度得到点P′.2.(2016·北京卷)将函数y＝sin?3???4?若P′位于函数y＝sin 2x的图象上，则( ) 1π

A.t＝，s的最小值为 26B.t＝

3π，s的最小值为 26

1πC.t＝，s的最小值为 23D.t＝3π，s的最小值为 23

ππ

2x－?图象上， 解析 点P?，t?在函数y＝sin?3???4?πππ1

2×－?＝sin＝. 则t＝sin??43?62

π

2（x＋s）－?＝sin 2x， 又由题意得y＝sin?3??ππ

故s＝＋kπ，k∈Z，所以s的最小值为. 66答案 A

2π

2x＋?，则下面结论正确的是( ) 3.(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin?3??π

A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长6度，得到曲线C2

π

B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位12长度，得到曲线C2

1π

C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长26度，得到曲线C2

1π

D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长212度，得到曲线C2

π1

x＋?，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标解析 易知C1：y＝cos x＝sin??2?2ππ

2x＋?的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函不变，得到函数y＝sin?2??12