高考数学文科二轮复习 专题二第1讲三角函数的图象与性质案

第1讲 三角函数的图象与性质

高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.

真 题 感 悟

π

2x＋?的最小正周期为( ) 1.(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝sin?3??A.4π C.π

2π

解析 由题意T＝＝π.

2答案 C

π

2.(2016·全国Ⅱ卷)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴12为( )

kππ

A.x＝－(k∈Z)

26kππ

C.x＝－(k∈Z)

212

kππ

B.x＝＋(k∈Z)

26kππ

D.x＝＋(k∈Z)

212

π

个单位长度后得到函数的解析式为y＝12B.2π πD. 2

解析 由题意将函数y＝2sin 2x的图象向左平移

πππkππ

2x＋?，由2x＋＝kπ＋(k∈Z)得函数的对称轴为x＝＋(k∈Z). 2sin?6??6226答案 B

π

x＋?，则下列结论错误的是( ) 3.(2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝cos??3?A.f(x)的一个周期为－2π B.y＝f(x)的图象关于直线x＝

8π

对称 3

π

C.f(x＋π)的一个零点为x＝

6π?

D.f(x)在??2，π?单调递减

ππ

x＋?的图象可由y＝cos x的图象向左平移个单位得到，如图可知，f(x)解析 函数f(x)＝cos??3?3π?

在??2，π?上先递减后递增，D选项错误.

答案 D

3?0，π??的最大值是________. 4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝sin2x＋3cos x－?x∈

4??2??3?0，π??， 解析 f(x)＝sin2x＋3cos x－?x∈

4??2??3

f(x)＝1－cos2x＋3cos x－，

4令cos x＝t且t∈[0，1]，

13?2?y＝－t＋3t＋＝－t－＋1， 4?2?2

则当t＝答案 1

3

时，f(x)取最大值1. 2

考 点 整 合

1.常用三种函数的图象与性质(下表中k∈Z)

函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 递增区间 递减区间 奇偶性 对称中心 对称轴 周期性 2.三角函数的常用结论

[2kπ－π，2kπ] [2kπ，2kπ＋π] 偶函数 ?2kπ－π，2kπ＋π? 22???2kπ＋π，2kπ＋3π? 22??奇函数 (kπ，0) πx＝kπ＋ 22π ?kπ－π，kπ＋π? 22?? 奇函数 ?kπ＋π，0? 2??x＝kπ 2π ?kπ，0? ?2? π (1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；

ππ

当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得.

22π

(2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；

2

当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得. (3)y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数. 3.三角函数的两种常见变换

热点一 三角函数的图象 命题角度1 三角函数的图象变换

π

ω>0，|φ|

ωx＋φ x 0 π 2π 3π 3π 25π 62π Asin(ωx＋φ) 0 5 －5 0 (1)请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；

(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象.若y＝g(x)图5π?

象的一个对称中心为??12，0?，求θ的最小值.

π

解 (1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：

6

ωx＋φ x Asin(ωx＋φ) π2x－?. 且函数表达式为f(x)＝5sin?6??

π

2x－?，根据图象平移变换， (2)由(1)知f(x)＝5sin?6??π

2x＋2θ－?. 得g(x)＝5sin?6??

因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z. π

令2x＋2θ－＝kπ，k∈Z，

6kππ

解得x＝＋－θ，k∈Z.

212

5π?

由于函数y＝g(x)的图象关于点??12，0?成中心对称， kππ5πkππ

令＋－θ＝，k∈Z，解得θ＝－，k∈Z. 2121223π由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.

6探究提高 1.“五点法”作图

π3π

设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得.

222.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向. 命题角度2 由函数的图象特征求解析式

π

A>0，ω>0，|φ|

0 π 120 π 2π 35 π 7π 120 3π 25π 6－5 2π 13π 120