人教A版数学必修五 第三章不等式《基本不等式》学习过程

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基本不等式ab?学习过程：

知识点1基本不等式

a?b 2重要不等式a?b?2ab；两正数a、b的算术平均数系（ab?22a?b，几何平均数ab及它们的关2a?b）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b2a?b求函数的最值 2都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具 知识点2 利用基本不等式ab?由于基本不等式ab?a?b,a,b?R? 2若a?b为定值记为S，则ab有最大值且(ab)maxS2S2?()? 24若ab为定值P，则a?b有最小值且(a?b)min?2P 即a?b或ab有一个为定值，可以利用公式ab?注意：在利用公式ab?⑴a,b均为正值

⑵a?b与ab有一个为定值

⑶等号必须取到

学习结论：基本不等式是必考内容在学习中要注意一下三点⑴a,b均为正值 ⑵a?b与ab有一个为定值⑶等号必须取到

a?b求另一个的最值。 2a?b要注意 2ab?学习结论：（1）基本不等式

a?b2

（2）若a?b为定值记为S，则ab有最大值且(ab)maxS2S2?()? 24若ab为定值P，则a?b有最小值且(a?b)min?2P 典型例题

例题1、已知x,y都是正数，求证： (1)

yx??2 xy223333(2) (x?y)(x?y)(x?y)?8xy

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证明: ∵x,y都是正数 ∴

yx?0，?0，x2?0,y2?0,x3?0,y3?0 xy(1)

yxyxxy??2?2即??2

xyxyyx22223333(2) x?y?2xy?0 x?y?2xy?0 x?y?2xy?0

2233223333∴(x?y)(x?y)(x?y)?2xy?2xy?2xy?8xy

即(x?y)(x2?y2)(x3?y3)?8x3y3

例题2 已知a,b,c都是正数，求证：(a?b)(b?c)(c?a)?8abc 证明：∵a,b,c都是正数 ?a?b?2ab?0

c?b?2bc?0 c?a?2ac?0

∴(a?b)(b?c)(c?a)?2ab2bc2ac?8abc 即(a?b)(b?c)(c?a)?8abc

例题3 （1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？

（2）段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?

答案：⑴这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.

2

⑵菜园长9m，宽为9 m时菜园面积最大为81 m

解析：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy?100，篱笆的长为2(x?y)m。由

2x?y?xy，可得 x?y?2100， 2(x?y)?40。 2等号当且仅当x?y时成立，此时x?y?10

因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m. （2）设矩形菜园的宽为x m，则长为(36?2x)m，其中0?x?1， 2▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓

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112x?36?2x362)?则面积S?x(36?2x)??2x(36?2x)?(

2228当且仅当2x?36?2x，即x?9时菜园面积最大，即菜园长9m，宽为9 m时菜园面积最

2

大为81 m

32

例题4某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m,深为3m，如果池底每1m

2

的造价为150元，池壁每1m的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

答案：当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元

解析：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得

l?240000?720(x?1600) x?240000?720?2x?1600 x?240000?720?2?40?2976001600,即x?40时,l有最小值2976000. x当x?因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.

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