北京四中 - 高中数学高考综合复习 专题十二 三角函数的图象与性质

高中数学高考综合复习 专题十二 三角函数的图象与性质

一、知识网络

二、高考考点

（一）三角函数的性质

1、三角函数的定义域，值域或最值问题；

2、三角函数的奇偶性及单调性问题；常见题型为：三角函数为奇函数（或偶函数）的充要条件的应用；寻求三角函数的单调区间；比较大小的判断等.

3、三角函数的周期性； 寻求

（二）三角函数的图象 1、基本三角函数图象的变换； 2、式；

3、三角函数图象的对称轴或对称中心：寻求或应用；

4、利用函数图象解决应用问题.

（三）化归能力以及关于三角函数的认知变换水平.

三、知识要点

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型三角函数的周期以及难度较高的含有绝对值的三角函数的周期.

型三角函数的图象问题；重点是“五点法”作草图的逆用：由给出的一段函数图象求函数解析

（一）三角函数的性质 1、定义域与值域

2、奇偶性

（1）基本函数的奇偶性 奇函数：y＝sinx，y＝tanx； 偶函数：y＝cosx.

（2）

型三角函数的奇偶性

（ⅰ）g（x）＝ （x∈R）

g（x）为偶函数

由此得 ；

同理， 为奇函数

.

（ⅱ）

为偶函数

；

为奇函数 .

3、周期性 （1）基本公式

（ⅰ）基本三角函数的周期 y＝sinx，y＝cosx的周期为 ； y＝tanx，y＝cotx的周期为 .

（ⅱ）

型三角函数的周期

的周期为2

；

（2）认知 （ⅰ）

型函数的周期

的周期为 .

的周期为 ；

（ⅱ）

的周期为 .

的周期

的周期为 ；

均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝点与（ⅰ）的区别. （ⅱ）若函数为

的周期为 .

的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一

型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”.

（ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明.

（3）特殊情形研究

（ⅰ）y＝tanx－cotx的最小正周期为 ；

（ⅱ） 的最小正周期为 ；

（ⅲ）y＝sin4x＋cos4x的最小正周期为

.

由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象.

4、单调性

（1）基本三角函数的单调区间（族） 依从三角函数图象识证“三部曲”：

①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期；

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②写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）；

③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族（或减区间族）

循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族.

揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域.

（2）y＝

型三角函数的单调区间

此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为 ①换元、分解：令u＝

②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出f（u）的单调性，而后利用（1）中公式写出关于u的不等式；

③还原、结论：将u＝

（二）三角函数的图象 1、对称轴与对称中心

（1）基本三角函数图象的对称性 （ⅰ）

代入②中u的不等式，解出x的取值范围，并用集合或区间形成结论. ，将所给函数分解为内、外两层：y＝f（u），u＝

；

正弦曲线y＝sinx的对称轴为 正弦曲线y＝sinx的对称中心为（

（ⅱ）

余弦曲线y＝cosx的对称轴为

；

，0）

；

.

余弦曲线y＝cosx的对称中心

（ⅲ）正切曲线y＝tanx的对称中心为 正切曲线y＝tanx无对称轴. 认知：

①两弦函数的共性： x＝ （

为两弦函数f（x）的对称轴 ，0）为两弦函数f（x）的对称中心

；

为最大值或最小值；

＝0.

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