2020年北京市房山区高三数学一模试题及参考答案(word版)

（Ⅲ）若a?0，设函数g(x)?|f(x)|，g(x)在[?1,1]上的最大值不小于3，求a的取值范围．

（21）（本小题14分）

在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“Z拓展”．如数列1，2第1次“Z拓展”后得到数列1，3，2，第2次“Z拓展”后得到数列1，4，3，5，2．设数列a，b，c经过第n次“Z拓展”后所得数列的项数记为Pn，所有项的和记为Sn． （Ⅰ）求P1，P2；

（Ⅱ）若Pn≥2020，求n的最小值；

（Ⅲ）是否存在实数a，b，c，使得数列{Sn}为等比数列？若存在，求a，b，c满足的条件；若不存在，说明理由．

参考答案

一、选择题（每小题4分，共40分）

题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 D 5 A 6 A 7 B 8 D 9 C 10 D 二、填空题（每小题5分，共25分，有两空的第一空3分，第二空2分） n(n?1)π（11）3；（12）(0,1)；（13）10n?1；；（14）；（15）②④（注：只写②或④得3分）

212三、解答题（共6小题，共85分）

（16）（本小题14分） 解： 选择①

（Ⅰ）在△ABC中，因为a?2，c?10，b?4，

22a2?b2?c2（2）?42?（10）2由余弦定理得cosC?， ＝＝2ab22?2?4因为C?(0,?)，所以sinC?1?cos2C?5

2 2所以S?112absinC??2?4??2． 222 （Ⅱ）在△ABC中，A?B?π?C．

所以sin(A?B)?sinC?选择②

（Ⅰ）因为cosB??2． 2255B?(0,?) ，，所以sinB?1?cos2B?551125acsinB??2?10??2 225 因为a?2，c?10，所以S?（Ⅱ）因为a?2，c?10，cosB??5， 522（2）?（10）?2?2?10?(?由b2?a2?c2?2accosB，得b?解得b?4， 由

25)?16， 52bc，解得sinC?， ?2sinBsinC2 2在△ABC中，A?B?π?C，sin(A?B)?sinC?选择③

依题意，A为锐角，由sinA?10310 得cosA?1?sin2A?1010310， 10310b 10在△ABC中，因为a?2，c?10，cosA?由余弦定理a2?b2?c2?2bccosA，得(2)2?b2?(10)2?2?10?解得b?2或b?4 （Ⅰ）当b?2时，S?1110bcsinA??2?10??1． 22101110bcsinA??4?10??2． 22106

当b?4时，S?

（Ⅱ）由a?2，c?10，sinA?102ac，，得sinC? ?102sinAsinC2 2在△ABC中，A?B?π?C，sin(A?B)?sinC?（17）（本小题14分） 解：

（Ⅰ）从所有参与调研的人共有300人，不满意的人数是25?5?10?40

记事件D为“从所有参与调研的人中随机选取1人此人不满意”，则所求概率为

P(D)=402=. 30015（Ⅱ）记事件M为“从参与调研的青年人中随机选取1人，此人满意”，则P(M)=603=; 1407707记事件N为“从参与调研的中年人中随机选取1人，此人满意”，则P(N)==；

10010则“从参与调研的青年人和中年人各随机选取1人，恰有1人满意”的概率为

373737P(MN?MN)?P(M)?P(N)?P(M)?P(N)=?(1?)?(1?)??

71071070理由：参与调研的60名老年人中不满意的人数为20，满意和一般的总人数为x?y?50，说明满意度之间存在较大差异，所以从三种态度的老年中各取2人不合理。合理的抽样方法是采用分层抽样，根据x，y，10的具体数值来确定抽样数值。

（Ⅲ）这种抽样不合理。

（18）（本小题14分）

证明：

（Ⅰ）取PA中点F，连接EF，BF，因为E为PD中点，F为PA中点，

1AD 21又因为BC//AD，且BC?AD

2所以EF//BC，且EF?BC

所以四边形BCEF为平行四边形， 所以CE//BF，

所以EF//AD，且EF?因为CE?平面PAB,BF?平面PAB 所以CE // 平面PAB.

（Ⅱ）因为PB?平面ABCD，AD?平面ABCD

所以PB?AD

又因为AB?BC,AD // BC 所以AD?AB，

7

DPEC AFB又ABIPB?B，AB、PB?平面PAB 所以AD?平面PAB.

（Ⅲ）因为PB?平面ABCD，AB、BC?平面ABCD

所以PB?zPAB,PB?BC，又AB?BC，

ExDyC A以B为原点，如图建立空间直角坐标系B?xyz，

11B(0,0,0),P(0,0,1),A(0,1,0),C(1,0,0),E(1,,)

22 uuuruuuruuur11所以BP?(0,0,1),AC?(1,?1,0),CE?(0,,)

22uuur已知平面ACD的一个法向量BP?(0,0,1)； r设平面ACE的法向量n?(x,y,z)，则

Bruuur?x?y?0??ngAC?0?，，即?1令x?1，则y?1,z??1； r1?ruuuy?z?0???ngCE?0?22r所以平面ACE的一个法向量为n?(1,1,?1)

uuurruuurrBPgn3cos?BP,n????uuurr所以 3BPgn由图可知二面角E?AC?D为锐角，所以二面角E?AC?D的余弦值为（19）（本小题14分）

3. 3x2?y2?1解：（Ⅰ）依题意得a?2，b?1，所以椭圆C的方程为4

c?a?b?3，离心率的大小e?22c3?a2

（Ⅱ）因为M，N是y轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数， 设M，N坐标为(0,m)，(0,n)，则n?1，m?0,n?0 mmx?m ?2由A(2,0)，M(0,m)得直线AM的方程为y?8