《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》教案全面版

《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》教案

§ 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（1）

【教学目标】

1．掌握基本初等函数的导数公式及导数的运算法则． 2．学会利用公式求一些函数的导数．

【教学重点】基本初等函数的导数公式及导数的运算法则．

【教学难点】基本初等函数的导数公式及导数的运算法则的应用． 【教学过程】

一、复习引入：

/1．y＝f(x)＝lim/?yf(x??x)?f(x) ?lim?x?0?x?x?0?x导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值．它们之间的关系是函数y?f(x)在点x0处的导数就是导函数f(x)在点x0的函数值．

2． 求函数y?f(x)的导数的一般方法： （1）求函数的改变量?y?f(x??x)?f(x)．

/?yf(x??x)?f(x)． ??x?x?y/（3）取极限，得导数y＝f?(x)?lim ．

?x?0?x（2）求平均变化率3．几个用函数的导数 （1）C'?0(C为常数) （2）x'?1 （3）(x)'?2x （4）()'??（5）(x)'?二、讲解新课：

1． 为了方便，今后我们可以直接使用下面的基本初等函数的导数公式表． （1）C'?0(C为常数)； （2）(x)'?nxnn?121x1 x212x

(n?Q)；

（3）(sinx)'?cosx；

（4）(cosx)'??sinx； （5）(a)'?alna； （6）(e)'?e； （7）(logax)'?（8）(lnx)'?xxxx1logae； x1． x2． 导数运算法则

法则1 [u(x)?v(x)]?u(x)?v(x)．

法则2 [u(x)v(x)]??u'(x)v(x)?u(x)v'(x), [Cu(x)]??Cu'(x)．

'''?u?u'v?uv'法则3 ???(v?0)． 2vv??三、讲解范例： 3

例1 求y=x+sinx的导数.

332

解：y′=(x+sinx)′=(x)′+(sinx)′=3x+cosx

42

例2 求y=x－x－x+3的导数.

42423

解：y′=(x－x－x+3)′=(x)′－(x)′－x′+3′=4x－2x－1， 例3求y?2x?3x?5x?4的导数． 解： y'?3x?6x?5．

例4求y?(2x?3)(3x?2)的导数．

解： y'?(2x?3)'(3x?2)?(2x?3)(3x?2)'

2222'322x?8x?9． ?4x(3x?2)?(2x?3)?3?182

例5 y=3x+xcosx，求导数y′.

22

解：y′=(3x+xcosx)′=(3x)′+(xcosx)′=3·2x+x′cosx+x(cosx)′=6x+cosx+xsinx

例6 y=5xsinx－2

1010

2xcosx－9，求y′.

xcosx－9)′=(5x10sinx)′－(2xcosx)′－9′

x)′·cosx+2x(cosx)′］－0

解：y′=(5xsinx－2

10

10

=5(x)′sinx+5x(sinx)′－［2(

?1112=5·10xsinx+5xcosx－(2x·cosx－2xsinx)

29

10

=50xsinx+5xcosx－四、课堂练习：

910

11910

cosx+2xsinx=(50x+2x)sinx+(5x－)cosx． xx1.求函数的导数.

32

(1)y=2x+3x－5x+4

323222

解：(2x+3x-5x+4)′=(2x)′+(3x)′-(5x)′+4′=2·3x+3·2x-5=6x+6x-5 (2)y=sinx－x+1

解：y′=(sinx－x+1)′=(sinx)′－x′+1′=cosx－1

2

(3)y=(3x+1)(2－x)

222

解：y′=［(3x+1)(2－x)］′=(3x+1)′(2－x)+(3x+1)(2－x)′

22

=3·2x(2－x)+(3x+1)(－1)=－9x+12x－1

2

(4)y=(1+x)cosx

222

解：y′=［(1+x)cosx］′=(1+x)′cosx+(1+x)(cosx)′

22

=2xcosx+(1+x)(－sinx)=2xcosx－(1+x)sinx 2.填空：

2222

(1)［(3x+1)(4x－3)］′=( )(4x－3)+(3x+1)( )

222222

解：［(3x+1)(4x－3)］′=(3x+1)′(4x－3)+(3x+1)(4x－3)′

2222

=3·2x(4x－3)+(3x+1)(4·2x)=(6x)(4x－3)+(3x+1)(8x) 323

(2)(xsinx)′=( )xsinx+x( )

33322

解：(xsinx)′=(x)′sinx+x(sinx)′=(3)xsinx+x(cosx) 3.判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正.

23322

［(3+x)(2－x)］′=2x(2－x)+3x·(3+x)

232323

解：不正确.［(3+x)(2－x)］′=(3+x)′(2－x)＋(3＋x)(2－x)′

322322

=2x(2－x)+(3+x)(－3x)=2x(2－x)－3x(3+x)． 五、小结 ：

由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数． 六、课后作业：（略）．

§ 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（2）

【教学目标】

1．掌握基本初等函数的导数公式及导数的运算法则． 2．理解掌握复合函数的求导法则； 3．学会利用公式求一些函数的导数．

【教学重点】基本初等函数的导数公式及导数的运算法则；复合函数的求导法则．

【教学难点】基本初等函数的导数公式及导数的运算法则的应用；复合函数的求导法则的应用．

【教学过程】 一、复习引入：

1．常见函数的导数公式： （1）C'?0(C为常数)； （2）(x)'?nxnn?1(n?Q)；

（3）(sinx)'?cosx； （4）(cosx)'??sinx；

（5）(a)'?alna； （6）(e)'?e； （7）(logax)'?（8）(lnx)'?xxxx1logae； x1． x'''2．导数的运算法则：

法则1 [u(x)?v(x)]?u(x)?v(x)．

法则2 [u(x)v(x)]??u'(x)v(x)?u(x)v'(x), [Cu(x)]??Cu'(x)．

?u?u'v?uv'法则3 ???(v?0)． 2v?v?二、讲解新课：

1．复合函数：由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数y?f(u)与u??(x)复合而成的函数一般形式是y?f[?(x)]，其中u称为中间变量．

2．求函数y?(3x?2)的导数的两种方法与思路：

22??方法一：y?x?[(3x?2)]?(9x?12x?4)?18x?12；

'2方法二：将函数y?(3x?2)看作是函数y?u和函数u?3x?2复合函数，并分别求对应变量的导数如下：

22??(u2)??2u，u??yux?(3x?2)?3，两个导数相乘，得

?u?yux?2u3?2(3x?2)3?18x?12， 从而有 y'x?y'u?u'x

对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y′x时，就可以转化为求yu′和u′x

的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同．

3．复合函数的导数：设函数u=?(x)在点x处有导数u′x=?′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f(? (x))在点x处也有导数，且y'x?y'u?u'x 或f′x(? (x))=f′(u)

?′(x)．

证明：（教师参考不需要给学生讲）

设x有增量Δx，则对应的u，y分别有增量Δu，Δy，因为u=φ(x)在点x可导，所以u=? (x)在点x处连续．因此当Δx→0时，Δu→0．

?y?y?u?y?y???lim当Δu≠0时，由． 且lim．

?x?0?u?u?0?x?x?u?x