2016年广东省梅州市中考数学试卷

【分析】（1）先证明△AEB≌△AEF，推出∠EAB=∠EAF，由AD∥BC，推出∠EAF=∠AEB=∠EAB，得到BE=AB=AF，由此即可证明．

（2）根据菱形的性质首先证明△AOB是含有30°的直角三角形，由此即可解决问题． 【解答】解：（1）在△AEB和△AEF中，

，

∴△AEB≌△AEF， ∴∠EAB=∠EAF， ∵AD∥BC，

∴∠EAF=∠AEB=∠EAB， ∴BE=AB=AF． ∵AF∥BE，

∴四边形ABEF是平行四边形 ∵AB=AF，

∴四边形ABEF是菱形． 故答案为菱形．

（2）∵四边形ABEF是菱形，

∴AE⊥BF，BO=OF=5，∠ABO=∠EBO， ∵AB=10，

∴AB=2BO，∵∠AOB=90° ∴∠BA0=30°，∠ABO=60°，

∴AO=BO=5，∠ABC=2∠ABO=120°． 故答案为，120．

【点评】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的性质、作图﹣基本作图等知识，解题的关键是全等三角形的证明，想到利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型． 19．（7分）（2016?梅州）如图，已知在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数y=的图象上．一次函数y=x+b的图象过点A，且与反比例函数图象的另一交点为B．

（1）求k和b的值；

（2）设反比例函数值为y1，一次函数值为y2，求y1＞y2时x的取值范围．

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【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）把A（2，5）分别代入和y=x+b，即可求出k和b的值；

（2）联立一次函数和反比例函数的解析式，求出交点坐标，进而结合图形求出y1＞y2时x的取值范围．

【解答】解：（1）把A（2，5）分别代入

和y=x+b，

得，

解得k=10，b=3；

（2）由（1）得，直线AB的解析式为y=x+3， 反比例函数的解析式为

．

由，解得：或．

则点B的坐标为（﹣5，﹣2）．

由图象可知，当y1＞y2时，x的取值范围是x＜﹣5或0＜x＜2． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出k和b的值，此题难度不大． 20．（9分）（2016?梅州）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

【考点】扇形面积的计算；等腰三角形的性质；切线的判定；特殊角的三角函数值． 【专题】几何图形问题． 【分析】（1）连接OC．只需证明∠OCD=90°．根据等腰三角形的性质即可证明； （2）阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积． 【解答】（1）证明：连接OC． ∵AC=CD，∠ACD=120°， ∴∠A=∠D=30°． ∵OA=OC，

∴∠2=∠A=30°．

∴∠OCD=180°﹣∠A﹣∠D﹣∠2=90°．即OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线．

（2）解：∵∠A=30°， ∴∠1=2∠A=60°．

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∴S扇形BOC=在Rt△OCD中， ∵∴∴

∴图中阴影部分的面积为：

．

，

．

． ．

【点评】此题综合考查了等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法．

21．（9分）（2016?梅州）关于x的一元二次方程x+（2k+1）x+k+1=0有两个不等实根x1、x2．

（1）求实数k的取值范围．

（2）若方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1?x2，求k的值． 【考点】根的判别式；根与系数的关系． 【分析】（1）根据根与系数的关系得出△＞0，代入求出即可；

2

（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=﹣（2k+1），x1?x2=k+1，根据x1+x2=﹣x1?x2得出﹣

2

（2k+1）=﹣（k+1），求出方程的解，再根据（1）的范围确定即可． 【解答】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，

22

∴△=（2k+1）﹣4（k+1）＞0， 解得：k＞，

即实数k的取值范围是k＞；

（2）∵根据根与系数的关系得：x1+x2=﹣（2k+1），x1?x2=k+1， 又∵方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1?x2，

2

∴﹣（2k+1）=﹣（k+1）， 解得：k1=0，k2=2， ∵k＞，

∴k只能是2． 【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式的应用，能正确运用性质进行计算是解此题的关键，题目比较好，难度适中． 22．（9分）（2016?梅州）如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O． （1）求证：BO=DO；

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2

22

（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AE的长．

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）由平行四边形的性质和AAS证明△OBE≌△ODF，得出对应边相等即可； （2）证出AE=GE，再证明DG=DO，得出OF=FG=1，即可得出结果． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，

∴∠OBE=∠ODF． 在△OBE与△ODF中，

∴△OBE≌△ODF（AAS）． ∴BO=DO．

（2）解：∵EF⊥AB，AB∥DC， ∴∠GEA=∠GFD=90°． ∵∠A=45°，

∴∠G=∠A=45°．

∴AE=GE ∵BD⊥AD，

∴∠ADB=∠GDO=90°． ∴∠GOD=∠G=45°． ∴DG=DO， ∴OF=FG=1，

由（1）可知，OE=OF=1， ∴GE=OE+OF+FG=3， ∴AE=3．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题（1）的关键． 23．（10分）（2016?梅州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．

（1）若BM=BN，求t的值；

（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值；

（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．

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