高三数列知识点与题型总结（文科）说课讲解

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练习3.（2009陕西卷文）

已知数列

?an}满足，

a1＝1’a2?2,an＋2＝an?an?1,n?N*2.

???令bn?an?1?an，证明：{bn}是等比数列；

(Ⅱ)求

?an}的通项公式。

?1521n?1*a??(?)(n?N)nbn??332答案：（1）是以1为首项，2为公比的等比数列。（2）。

总结：四种基本数列 1．形如

an?1?an?f(n)型 等差数列的广义形式，见累加法。

2.形如3.形如

an?1?f(n)an型 等比数列的广义形式，见累乘法。

型

an?1?an?f(n)an?1?an?d（1）若（d为常数），则数列{

an}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项

和偶数项来讨论;

（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为式相减)得

an?1?an?f(n)型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两

an?1?an?1?f(n)?f(n?1)，，分奇偶项来分求通项.

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精品文档 4.形如

an?1?an?f(n)an?1?an?p型

（1）若(p为常数)，则数列{

an}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和

偶数项来讨论;

（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得例8. 数列{

an?an?1?f(n?1)，两式相除后，分奇偶项来分求通项.

ana?an?2n}满足a1?0,n?1,求数列{an}的通项公式.

1n*a?3,a?a?(),(n?N)1nn?1{an}满足2例9. 已知数列,求此数列的通项公式.

第二部分 数列求和

一、公式法

1．如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式，注意等比数列公比q的取值情况要分q＝1或q≠1.

2．一些常见数列的前n项和公式： n?n＋1?

(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝；

2(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2； (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n. 精品文档

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二、非等差、等比数列求和的常用方法

1．倒序相加法

如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，等差数列的前n项和即是用此法推导的．

2．分组转化求和法

若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．

3．错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，等比数列的前n项和就是用此法推导的．

4．裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．

[小题能否全取]

1．(2012·沈阳六校联考)设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则对任意正整数n，Sn＝( ) n[?－1?n－1]A.

2?－1?n＋1C.

2

?－1?n1＋1B.

2

－

?－1?n－1D. 2

??

?Sn?

2．等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项的和为Sn，则数列?n?的前10项的和为( )

A．120 C．75

B．70 D．100

3．数列a1＋2，…，ak＋2k，…，a10＋20共有十项，且其和为240，则a1＋…＋ak＋…＋a10的值为( ) A．31 C．130

B．120 D．185

4．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为________． 1111

5．数列，，，…，，…的前n项和为________．

2×44×66×82n?2n＋2?

[例1]等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.

第一行 第二行 第一列 3 6 第二列 2 4 第三列 10 14 分组转化法求和 精品文档

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第三行

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求数列{bn}的前2n项和S2n. . .

[例2] 已知数列{an}的前n项和Sn＝kcn－k(其中c，k为常数)，且a2＝4，a6＝8a3. (1)求an；

(2)求数列{nan}的前n项和Tn.

2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝3n＋k. (1)求k的值及数列{an}的通项公式；

an＋1

(2)若数列{bn}满足＝(4＋k)anbn，求数列{bn}的前n项和Tn.

2

1n?91

n－n＋1. Tn＝?2－2·33?4?

[例3] 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝nan－n(n－1)(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式；

2

(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.

anan＋1 精品文档

裂项相消法求和 错位相减法求和 9 8 18