高三数列知识点与题型总结(文科)说课讲解

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数列考点总结

第一部分 求数列的通项公式

一、数列的相关概念与表示方法（见辅导书） 二、求数列的通项公式

四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。

等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。

求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。 求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

一、累加法 1．适用于：若

an?1?an?f(n) ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。

an?1?an?f(n)(n?2)，

a2?a1?f(1)a3?a2?f(2) 则

an?1?an?f(n)

an?1?a1??f(n)k?1n两边分别相加得 例1 已知数列

例2 已知数列

，求数列

{an}满足

an?1?an?2n?1，a1?1{an}的通项公式。

{an}满足

an?1?an?2?3n?1，a1?3，求数列

{an}的通项公式。

an?an?1?an?2n(n?N*)??a?练习1.已知数列的首项为1，且写出数列n的通项公式.

2n?n?1 答案：

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练习2.已知数列

{an}满足a1?3，

an?an?1?1(n?2)n(n?1)，求此数列的通项公式.

答案：裂项求和

an?2?1n

a?an?f(n)评注：已知a1?a,n?1，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通

项

an.

①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;

③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。

例3.已知数列

{an}中,

an?0Sn?且

1n(an?)2an,求数列{an}的通项公式.

练习3 已知数列

二、累乘法 1、适用于：

{an}an?1?满足

2an,a1?1{a}an?2，求数列n的通项公式。

an?1?f(n)an

累乘法是最基本的二个方法之二。

an?1aa2?f(n)?f(1)，3?f(2)，aaa2若n，则1nan?1?a1??f(k)a1k?1a，n?1?f(n)an

两边分别相乘得，例4 已知数列 精品文档

，求数列

{an}满足

an?1?2(n?1)5n?an，a1?3{an}的通项公式。

精品文档 例

5.设?an?是首项为

1

22?n?1?an?nan?an?1an?1的正项数列，且

?0（n=1，2， 3，…），则它的通项公式是

an=________.

三、待定系数法 适用于

an?1?qan?f(n)

基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。 1．形如

an?1?can?d,(c?0,其中a1?a)型

（1）若c=1时，数列{（2）若d=0时，数列{

anan}为等差数列; }为等比数列;

（3）若c?1且d?0时，数列{

待定系数法：设得

an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.

an?1???c(an??),与题设

,

比较系数得

an?1?can?(c?1)?an?1?can?d,(c?1)??d,所以

??ddd,(c?0)an??c(an?1?)c?1c?1c?1 所以有：

d??d?an??a1?c?1?构成以c?1为首项，以c为公比的等比数列， 因此数列?所以

an?dddd?(a1?)?cn?1an?(a1?)?cn?1?c?1c?1c?1c?1. 即：

an?1?can?d规律：将递推关系化为

an?1?ddd?c(an?){an?}c?1c?1,构造成公比为c的等比数列c?1从而

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求得通项公式

an?1?dd?cn?1(a1?)1?cc?1

an?1?can?d中把n换成n-1有

逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系

an?can?1?d,两式相减有

,

an?1?an?c(an?an?1)从而化为公比为c的等比数列

{an?1?an},进而求得通项公式.

an?1?an?cn(a2?a1)再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.

例6、已知数列

2．形如：

{an}中，

a1?1,an?2an?1?1(n?2)，求数列

?an?的通项公式。

an?1?p?an?qn (其中q是常数，且n?0,1)

，累加即可.

①若p=1时，即：

an?1?an?qnan?1?p?an?qnp?1②若时，即：，

求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以pn?1.目的是把所求数列构造成等差数列

an?1n?1p即：

?anqn?1pn?()pqbn?,令

anpn，则

bn?1?bn?1pn?()pq,然后类型1，累加求通项.

n?1qii.两边同除以 . 目的是把所求数列构造成等差数列。

an?1n?1q 即：

?pan1??qqnq,

bn?令

anqn,则可化为

bn?1?p1?bn?qq.然后转化为类型5来解，

iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列 设

an?1???qn?1?p(an???pn).通过比较系数，求出?，转化为等比数列求通项.

注意：应用待定系数法时，要求p?q，否则待定系数法会失效。 例7、已知数列

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{an}满足

an?1?2an?4?3n?1，a1?1，求数列

?an?的通项公式。