2015-2016学年高一苏教版数学必修4教案第1章第4课时《任意角的三角函数》(2)

第4课时 任意角的三角函数(2)

教学过程

一、 问题情境

在前面的学习中,我们知道,角α的三角函数值与角的终边上的点P(x, y)的位置是无关的,那么我们就可以在角的终边上取一些特殊的点,让问题研究变得简单些.

二、 数学建构

(一) 生成概念

问题1 在角α的终边上取什么样的点,可以让我们在研究问题时变得简单呢? (引导学生说出:考虑单位长度,从而引进单位圆的概念) 圆心在坐标原点,半径等于单位长度的圆,叫做单位圆. 问题2 在单位圆中,角α的正弦值、余弦值分别是多少? (引导学生得到sinα=y,cosα=x)

问题3 x, y分别是角α的终边与单位圆的交点的横、纵坐标,我们能将它们用几何量表示出来吗?

(引导学生过点P作x轴的垂线,交x轴于点M,从而将线段OM,MP的长度与x, y联系起来,即OM的长度等于|x|,MP的长度等于|y|,为引进有向线段作铺垫)

问题4 我们能否直接用线段OM,MP的某种形式来表示x, y,也即表示角α的余弦值、正弦值呢?

(为此,进一步引导学生考虑,请学生讨论解决问题的方法)

(图1)

结合图1,进行如下思考:

当角α的终边不在坐标轴上时,若x>0,则x即为OM的长度;若x<0,则x即为OM的长度的相反数.同理,若y>0,则y即为MP的长度;若y<0,则y即为MP的长度的相反数.

问题5 在前面的学习过程中,我们遇到过类似的情境吗?

(引导学生与正数、负数及正角、负角的概念进行类比,由此,来规定线段、直线的方向,引进有向线段、有向直线的概念)

有向线段是指规定了方向(即规定了起点和终点)的线段.类似地,规定了正方向的直线称为有向直线(如x轴、y轴). (二) 理解概念

1. 有向线段的方向是由起点和终点产生的,有向直线的方向是由正方向产生的.

2. 当有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l平行时,若有向线段AB的方向与有向直线l的方向相同,则在它的长度添上正号;若有向线段AB的方向与有向直线l的方向相反,则在它的长度添上负号,这样所得的数,叫做有向线段的数量,记为AB.

问题6 引进有向线段的数量后,在图1中, x, y分别与哪个有向线段的数量对应? 通过讨论,得到x=OM, y=MP,从而有sinα=MP, cosα=OM. 我们把有向线段MP,OM分别叫做角α的正弦线、余弦线. 问题7 类似地,我们能引进正切线的概念吗?

(学生讨论,师生共同探讨,引导学生思考这里需要解决什么问题)

由于tanα=,根据前面正弦、余弦的经验,我们应该让==?,从而找到?所代表的有向线段的数量.由此得正切线(如图2所示).

(图2)

当角α终边在y轴的右侧时,在角α终边上取点T(1, y'),则tanα==y'=AT(A为单位圆与x轴正半轴的交点);当角α终边在y轴的左侧时,在角α终边的反向延长线上取点T(1, y'),由于它关于原点的对称点Q(-1, -y')在角α的终边上,故有tanα==y'=AT.因此把有向线段AT叫做角α的正切线.[3]

当角α终边在不同象限时,其三角函数线如图3所示.

(图3)

特殊情况:

① 当角α的终边在x轴上时,点P与点M重合,点T与点A重合,这时正弦线与正切线都变成了一点,数量为零,而余弦线OM等于1或-1;

② 当角α的终边在y轴上时,正弦线OM等于1或-1,余弦线变成了一点,它表示的数量为零,而正切线不存在.

三、 数学运用

【例1】 分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线: (1) ; (2)

; (3) -; (4) -.[4]

(见学生用书P7)

[处理建议] 可让学生参见教材P13图1-2-8的作法. [规范板书] 解

(例1)

图(1)、(2)、(3)、(4)中的MP,OM, AT分别表示各个角的正弦线、余弦线、正切线.

[题后反思] 作三角函数线分三步:①先画出单位圆,柱注点A(1, 0);②准确作出角α的终边,找到角α的终边与单位圆的交点P,过点P作x轴的垂线交x轴于点M,过点A作x轴的垂线交角α的终边(或角α的终边的反向延长线)于点T;③写出结论:正弦线为有向线段MP、余弦线为有向线段OM、正切线为有向线段AT.

【例2】 比较下列各组三角函数值的大小: (1) sin35°, sin55°; (2) cos, cos; (3) tan1, tan2.[5]

[处理建议] 引导学生作出单位圆中的三角函数线来比较大小. 解 (1)sin35°cos; (3) tan1>tan2.

[题后反思] 三角函数线是有方向的,与x轴、y轴的正方向相反的三角函数线,长度越长,它所表示的有向线段的数量越小,即三角函数值越小.

问题1 从例2中,我们可以领悟到利用单位圆中的三角函数线可以比较三角函数值的大

(见学生用书P8)