（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 高考专题突破二 高考中的三角函数与平面向量问题教师用书

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 高考专题突破二 高考中的

三角函数与平面向量问题教师用书

π

1．(2016·全国甲卷)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的12对称轴为( ) A．x＝C．x＝

kπkπ

π

－(k∈Z) 26π

－(k∈Z) 212

B．x＝D．x＝

kπkπ

π

＋(k∈Z) 26π

＋(k∈Z) 212

答案 B

π

解析 由题意将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y＝

12π?ππkππ?2sin?2x＋?，由2x＋＝kπ＋(k∈Z)得函数的对称轴为x＝＋(k∈Z)，故选B. 6?6226?2．在△ABC中，AC·cos A＝3BC·cos B，且cos C＝A．30° C．60° 答案 B

解析 由题意及正弦定理得sin Bcos A＝3sin Acos B， ∴tan B＝3tan A，∴0°＜A<90°，0°

故sin C＝，∴tan C＝2，而A＋B＋C＝180°，

5tan A＋tan B∴tan(A＋B)＝－tan C＝－2，即＝－2，

1－tan Atan B将tan B＝3tan A代入，得

4tan A2＝－2，

1－3tanA5， 5

B．45° D．120°

5

，则A等于( ) 5

1

∴tan A＝1或tan A＝－，而0°＜A＜90°，

3则A＝45°，故选B.

→→→→→→

3．(2016·浙江重点中学适应性测试)已知△ABC中，BC·CA＝CA·AB，|BA＋BC|＝2，且

?B∈?，?

π?32π?→→

，则BA·BC的取值范围是____________． ?3?

2??答案 ?－2，? 3

?

→→→→

解析 因为BC·CA＝CA·AB，

→→→→→→→

所以CA·(BC－AB)＝(BA－BC)·(BC＋BA)＝0， →2→2

即BA＝BC，可得AB＝BC.

→→→2→→→2

由|BA＋BC|＝2，可得BA＋2BA·BC＋BC＝4， 2222

设AB＝BC＝a，则有2a＋2acos B＝4?a＝.

1＋cos B?π2π??11?因为B∈?，?，可得cos B∈?－，?，

3??3?22?

2cos B→→2

所以BA·BC＝acos B＝

1＋cos B2?2?2??＝2－∈?－2，?，故答案为?－2，?. 3?3?1＋cos B??

?π?m4．已知函数f(x)＝sin?x＋?－在[0，π]上有两个零点，则实数m的取值范围为________．

3?2?

答案 [3，2)

mm?π?解析 如图，画出y＝sin?x＋?在[0，π]上的图象，当直线y＝与其有两个交点时，

3?22?

∈?

?3?

，1?，所以m∈[3，2)． ?2?

题型一 三角函数的图象和性质

ππ2ωx例1 已知函数f(x)＝sin(ωx＋)＋sin(ωx－)－2cos，x∈R(其中ω>0)．

662(1)求函数f(x)的值域；

π

(2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离均为，求函数y＝f(x)

2的单调增区间． 解 (1)f(x)＝＝2(3131

sin ωx＋cos ωx＋sin ωx－cos ωx－(cos ωx＋1) 2222

31π

sin ωx－cos ωx)－1＝2sin(ωx－)－1. 226

π

由－1≤sin(ωx－)≤1，

6π

得－3≤2sin(ωx－)－1≤1，

6所以函数f(x)的值域为[－3,1]．

(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知，y＝f(x)的周期为π， 2π

所以＝π，即ω＝2.

ωπ

所以f(x)＝2sin(2x－)－1，

6

πππ

再由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

262ππ

解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．

63所以函数y＝f(x)的单调增区间为 ππ

[kπ－，kπ＋](k∈Z)．

63

思维升华 三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sin t的图象求解．

52

已知函数f(x)＝5sin xcos x－53cosx＋3(其中x∈R)，求：

2

(1)函数f(x)的最小正周期； (2)函数f(x)的单调区间；

(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心．

555

解 (1)因为f(x)＝sin 2x－3(1＋cos 2x)＋3

22213π

＝5(sin 2x－cos 2x)＝5sin(2x－)，

2232π

所以函数的周期T＝＝π.

2

πππ

(2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

232π5π

得kπ－≤x≤kπ＋ (k∈Z)，

1212

π5π

所以函数f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．

1212ππ3π

由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

2325π11π

得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，

1212

5π11π

所以函数f(x)的单调减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．

1212ππkπ5π

(3)由2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，

32212所以函数f(x)的对称轴方程为x＝

kπ

2

＋5π

(k∈Z)． 12

πkππ

由2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，

326所以函数f(x)的对称中心为(题型二 解三角形

4π

例2 (2016·江苏)在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝.

54(1)求AB的长；

kπ

2

＋π

，0)(k∈Z)． 6

?π?(2)求cos?A－?的值．

6??

4

解 (1)由cos B＝，0

532得sin B＝1－cosB＝，

5

πACAB又∵C＝，AC＝6，由正弦定理，得＝，

4sin Bπ

sin

46AB即＝?AB＝52. 3252

342

(2)由(1)得sin B＝，cos B＝，sin C＝cos C＝，

55272

则sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝，

10cos A＝－cos(B＋C)＝－(cos Bcos C－sin Bsin C)＝－π72－6

sin Asin＝.

620

思维升华 根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在做有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，正确对结果进行取舍．

2π?π?，则cos?A－?＝cos Acos＋6?106?

?π? (2015·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知tan?＋A?＝2.

?4?

sin 2A(1)求2的值；

sin 2A＋cosAπ

(2)若B＝，a＝3，求△ABC的面积．

4