高考数学二轮复习专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的热点问题学案(理)

第3讲 圆锥曲线中的热点问题

高考定位 1.圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一；2.以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题.对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查.

真 题 感 悟

→→2

1.(2018·浙江卷)已知点P(0，1)，椭圆＋y＝m(m>1)上两点A，B满足AP＝2PB，则当m4＝________时，点B横坐标的绝对值最大.

??－x1＝2x2，→→

解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AP＝2PB，得?即x1＝－2x2，y1＝3－

?1－y1＝2（y2－1），?

x2

4x22

＋（3－2y2）＝m，41322

2y2.因为点A，B在椭圆上，所以2得y2＝m＋，所以x2＝m－(3－2y2)

44x22

＋y2＝m，4

?????

2

125912

＝－m＋m－＝－(m－5)＋4≤4，所以当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为

42442. 答案 5

2.(2018·北京卷)已知抛物线C：y＝2px经过点P(1，2).过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N. (1)求直线l的斜率的取值范围；

11→→→→

(2)设O为原点，QM＝λQO，QN＝μQO，求证：＋为定值.

2

λμ(1)解 因为抛物线y＝2px过点(1，2)， 所以2p＝4，即p＝2.故抛物线C的方程为y＝4x. 由题意知，直线l的斜率存在且不为0. 设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0).

??y＝4x，22由?得kx＋(2k－4)x＋1＝0. ?y＝kx＋1?

2

2

2

依题意Δ＝(2k－4)－4×k×1>0， 解得k<1，又因为k≠0，故k<0或0

所以直线l斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1). (2)证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2). 2k－41

由(1)知x1＋x2＝－2，x1x2＝2.

22

kk直线PA的方程为y－2＝

y1－2

(x－1).令x＝0， x1－1

－y1＋2－kx1＋1

得点M的纵坐标为yM＝＋2＝＋2.

x1－1x1－1同理得点N的纵坐标为yN＝

－kx2＋1

＋2. x2－1

→→→→

由QM＝λQO，QN＝μQO得λ＝1－yM，μ＝1－yN. 1111x1－1x2－1所以＋＝＋＝＋ λμ1－yM1－yN（k－1）x1（k－1）x22k－4＋2kk12x1x2－（x1＋x2）1

＝·＝·＝2. k－1x1x2k－11

2

2

k2

11

所以＋＝2为定值.

λμx2y23??

3.(2017·全国Ⅰ卷)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3?－1，?，

ab2??P4?1，

?

?3?

?中恰有三点在椭圆C上. 2?

(1)求C的方程；

(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点.

1113

(1)解 由于点P3，P4关于y轴对称，由题设知C必过P3，P4.又由2＋2>2＋2知，椭圆Caba4b不经过点P1， 所以点P2在椭圆C上.

1??b＝1，??a＝4，x因此?解得?故C的方程为＋y＝1.

4?b＝1.13?

??a＋4b＝1，

2

2

2

2

2

2

2

(2)证明 设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2. 如果直线l的斜率不存在，l垂直于x轴. 设l：x＝m，A(m，yA)，B(m，－yA)，

yA－1－yA－1－2

k1＋k2＝＋＝＝－1，得m＝2，

mmm此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足. 从而可设l：y＝kx＋m(m≠1).

将y＝kx＋m代入＋y＝1得(4k＋1)x＋8kmx＋4m－4＝0.

4由题设可知Δ＝16(4k－m＋1)>0.

8km4m－4

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2，x1x2＝2. 4k＋14k＋1则k1＋k2＝

2

2

2

x2

2222

y1－1y2－1kx1＋m－1kx2＋m－1

＋＝＋ x1x2x1x2

x1x2

2kx1x2＋（m－1）（x1＋x2）

＝. 由题设k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0. 4m－4－8km∴(2k＋1)·2＋(m－1)·2＝0.

4k＋14k＋1

解之得m＝－2k－1，此时Δ＝32(m＋1)>0，方程有解， ∴当且仅当m>－1时，Δ>0，

∴直线l的方程为y＝kx－2k－1，即y＋1＝k(x－2). 所以l过定点(2，－1).

考 点 整 合

1.圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解.

温馨提醒 圆锥曲线上点的坐标是有范围的，在涉及到求最值或范围问题时注意坐标范围的影响.

2.定点、定值问题

(1)定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题.

若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m).

(2)定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐

2

标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题. 3.存在性问题的解题步骤：

(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组). (2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在. (3)得出结论.

热点一 圆锥曲线中的最值、范围

x2y23

【例1】 (2018·西安质检)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率e＝，直线x＋3yab2

－1＝0被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为3. (1)求椭圆C的方程；

(2)过点M(4，0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ＝|MA|·|MB|，求λ的取值范围.

1

解 (1)原点到直线x＋3y－1＝0的距离为，

2

?1??3?2

由题得??＋??＝b(b>0)，解得b＝1.

?2??2?

c2b23

又e＝2＝1－2＝，得a＝2.

aa4

2

22

所以椭圆C的方程为＋y＝1.

4

(2)当直线l的斜率为0时，λ＝|MA|·|MB|＝12.

当直线l的斜率不为0时，设直线l：x＝my＋4，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

x2

2

x＝my＋4，??2

22

联立?x消去x得(m＋4)y＋8my＋12＝0. 2

＋y＝1，??4

由Δ＝64m－48(m＋4)>0，得m>12， 所以y1y2＝

12

. m＋4

22

2

2

λ＝|MA|·|MB|＝m2＋1|y1|·m2＋1|y2|

2

3?12（m＋1）?＝(m＋1)|y1y2|＝＝12?1－2?. 2

m＋4?m＋4?

2

由m>12，得0<

2

3339

<，所以<λ<12. m＋4164

2