2020高考数学(理科)二轮专题复习课标通用版(跟踪检测)解答题分类特训解答题分类特训7 Word版含答案

解答题分类特训(七) 解析几何(A)

(建议用时：30分钟) (见提升特训P153)

1．(2019·广东揭阳模拟)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线y＝kx＋m(m＞0)与抛物线C交于不同的两点M，N.

(1)若抛物线C在点M和N处的切线互相垂直，求m的值； (2)若m＝2，求|MF|·|NF|的最小值．

x2x解析 (1)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，对y＝求导得y′＝，

42

x1x2x1x2

故抛物线C在点M和N处切线的斜率分别为和，又切线垂直，所以·＝－1，即

2222x1·x2＝－4，

把y＝kx＋m代入C的方程得x2－4kx－4m＝0，所以x1x2＝－4m.故m＝1. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由抛物线定义可知|MF|＝y1＋1，|NF|＝y2＋1.

由(1)和m＝2知x1x2＝－8，x1＋x2＝4k，所以|MF|·|NF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝(kx1＋3)(kx2＋3)＝k2x1x2＋3k(x1＋x2)＋9＝4k2＋9.

所以当k＝0时，|MF|·|NF|取得最小值，且最小值为9.

2．(2019·湖北武汉调研)如图，O为坐标原点，抛物线C1：y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆x2y2

C2：2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点，A为椭圆C2的右顶点，椭圆C2的长轴长|AB|＝8，离心率

ab1e＝. 2

(1)求抛物线C1和椭圆C2的方程；

(2)过点A作直线l交C1于C，D两点，射线OC，OD分别交C2于E，F两点，记△OEF和△OCD的面积分别为S1和S2，问是否存在直线l，使得S1：S2＝3：13？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

1

解析 (1)因为C2中2a＝8，e＝，所以a＝4，c＝2，

2故b＝23，p＝4，所以

C1：y2＝8x，C2：

x2y2

＋＝1. 1612

??x＝my＋4，

(2)显然直线l不垂直于y轴，故直线l的方程可设为x＝my＋4，由?得y2

??y2＝8x，

－8my－32＝0，

设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则y1＋y2＝8m，y1·y2＝－32， 1

|OC||OD|sin∠CODS22|OC||OD||y1||y2|32所以＝＝＝＝. S11|OE||OF||yE||yF||yE||yF|

|OE||OF|sin∠EOF2

y1 y1

直线OC的斜率为＝2x1y1

8y2

?y＝yx，

88

＝，故直线OC的方程为y＝x，由?yyxy

＋?1612＝1，

1

1

1

2

2

8

得

?y1＋1?＝1，

?64×1612?

y11?y2＋1?＝1， 则?64×16＋12?＝1，同理可得y2F???64×1612?y2E

2

2

2

所以y2y2E·F

?y1＋1??y2＋1?＝1，

?64×1612??64×1612?

22

36×256

可得y2y2. E·F＝

121＋48m2

322?121＋48m2??13?要使S1：S2＝3：13，只需＝?3?2，

36×256解得m＝±1，

所以存在直线l：x±y－4＝0符合条件．