高中数学求解最值问题的一些方法毕业设计

高中数学求解最值问题的一些方法

摘要：最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各科之中，在生产实践中也有广泛应用，是反映实践数量关系、几何图形性质中的数学。最值问题是中学数学的重要内容之一，分布在各知识点，以最值为载体，考查高中数学的所有知识点。因此,它在高考中占有比较重要的地位。本文给出了求解最值的几种方法,如均值不等式、三角函数、函数的单调性、数形结合法等。同时，给出了每种方法的特点，并且分析了某些方法适用于何种题型。

关键词：最值；均值不等式；三角函数；函数的单调性；数形结合。

引言

在生产实践及科学实验中，常遇到“最好”、“最省”、“最大”、“最低”等问题。例如效益最高，成本最低，利润最大等等，这类问题在数学上常常归结为求函数的最大值或最小值问题，简称为求解最值问题。最值问题是历年高考考查的知识点之一，也是近几年数学竞赛中的常见题型。在高考中，它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系。由于其解法灵活，综合性强，能力要求高，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用数学技能，灵活选择合理的解题方法。本课题对求高中数学中最值问题的方法作一个综述，以便于广大师生系统掌握求高中数学最值问题的初等求解方法。相信本课题在理论知识上丰富和发展了最值问题及相应学科的理论、方法和技巧。

一 利用均值不等式求解最值问题

利用均值不等式求解最值问题主要根据算术平均数大于等于几何平均数 即：

a1?a2?????ann?a1a2???an，（其中a1,a2,???,an?0）

n由此得到几个常用的重要均值不等式[1]：

a2?b2(1)、a?b?2ab?ab??a,b?R?,当且仅当a?b时，“=”号成立；

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?a?b??(2)、a?b?2ab?ab????a,b?R?,当且仅当a?b时，“=”号成立；

?2?a3?b3?c3a?b?c?3abc?abc?a,b,c?R??,当且仅当a?b?c时，(3)、“=”?33332成立；

?a?b?c??(4)、a?b?c?33abc?abc????a,b,c?R?，当且仅当a?b?c时，

3??“=”成立。

注 ○1注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；

a?ba2?b2 ○2熟悉一个重要的不等式链：. ?ab??1122?ab23例1 已知两正数x,y且x?y?1，求z?11?的最小值。 xy解 因为x?0,y?0且x?y?1，所以

z??11?11?11?xyxy??????1?????x?y??2???2?2??4 xy?xy?yxyx?xy?1时，zmin?4 24例2 求函数y?x2?的最小值。 21?x4 分析 x2?是二项“和”的形式，但其“积”的形式不为定值。21?x1而可与1?x2相约，即其积为定积1，因此可以先添1、减1，即21?x4y?x2?1??1，再用均值不等式。 21?x当x?y?解 x2?1?0

442?x?1??1 1?x21?x24y??x2?1???1

1?x2y?x2?y?2?x2?1??4?1 1?x2第 2 页 （共 12 页）

y?3

当且仅当x2?1?42x?1时，等号成立。所以y的最小值是3. ，即21?x小结 均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一

个重要知识点。

1、利用均值不等式求常见最值问题： (1)、求几个正数和的最小值； (2)、求几个正数积的最大值；

(3)、用均值不等式求最值等号不成立； (4)、条件最值问题；

(5)、利用均值不等式化为其它不等式求解的问题。 2、用均值不等式求最值问题的常见技巧： (1)、添、减项（配常数项）； (2)、配系数（乘、除项）； (3)、裂项； (4)、取倒数； (5)、平方；

(6)、换元（整体思想）； (7)、逆用条件； (8)、巧组合； (9)、消元。

二 利用三角函数法求解最值问题

在三角函数中，正弦函数和余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性。利用三角函数的这一性质，将三角函数化为同一角的三角函数形式，或将其看作一个整体进行配方，从而解决问题。

???例3 求函数y?sinx?3cosx,x??0,?的最值。

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???解 因为y?sinx?3cosx?2sin?x??，

3??又因为0?x??2，所以x????5??由三角函数的图象可知ymin?1,ymax?2. ??,?，

3?36?小结 在三角函数中，正弦函数和余弦函数具有一个最基本也是最重要的

特征——有界性。利用正弦函数和余弦函数的有界性是求解三角函数最值问题的最基本的方法。

用三角函数求最值问题的常见技巧： (1)、用三角函数的有界性求最值；

(2)、将三角函数最值化为二次函数的最值； (3)、数形结合；

(4)、利用三角恒等变形。

三 利用函数的单调性求解最值问题

函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年高考必考内容。利用函数的单调性求最值问题先判明函数在给定区间上的单调性,而后依据单调性求函数的最值。

例4 设f?x??x3?ax2?bx?1的导数f??x?满足f??1??2a，f??2???b，其中常数a,b?R，设g?x??f??x?e?x，求函数g?x?的极值。 解 因f?x??x3?ax2?bx?1，故f??x??3x2?2ax?b 令x?1，得f??1??3?2a?b 由已知f??1??2a 解得b??3 又令x?2，得f??2??12?4a?b

33由已知f??2???b，解得a??. 所以f?x??x3?x2?3x?1

22f??x??3x2?3x?3 ，从而有g?x???3x2?3x?3?e?x， 则g??x????3x2?9x?e?x 令g??x??0，得?3x2?9x?0 解得x1?0,x2?3

当x????,0?时，g??x??0，故g?x?在???,0?上单调递减；

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