B03-第十三届“希望杯”全国数学邀请赛高二 第2试

|AM|?|AN|?8

因为|AM|?|AN|?8,|FM|?|FN|?8，且|MN|?8 所以点A在以M、N为焦点且过F的椭圆上 （2）假设存在满足条件的a，则有

2|FP|?|FM|?|FN|?8，即|FP|?4 设点P的坐标为（x0,y0），则有

x1?x2?4?a2

y?y2y0?1?a(x1?x2)2 由|FP|?4，得

x0? (4?a?a)2?a(x1?x2)2?16

化简，得2aa2?8a??2a(a?4) 所以a?0或a?1，与0?a?1矛盾

故不存在满足条件的a，即不存在a值，使得点P为MN的中点，且|FP|是|FM|与|FN|的等差中项。

23. （1）设f(0)?1，表示未清洗时水果上残留的农药量。 （2）f(x)满足： f(0)?1，f(1)?1，0?f(x)?1 2 f(x)具有的性质：

f(x)在［０，??）上单调递减，且f(0)?1 limf(x)?0

x??? （3）方案1：用m个单位的水，仅清洗一次 因为f(x)?11f(m)?，所以 221?x1?m 所以用m个单位的水，仅清洗一次，则水果上残存的农药量为 1?11? 221?m1?m1 21?x 方案2：把m个单位的水等分成2份来清洗 因为f(x)? 又f(x)表示用x个单位的水清洗一次后，残存的农药量与本次清洗前残存的农药量之

m个单位的水清洗以后，水果上残存的农药为 2m1 1?f()?；

m221?()2m 再用个单位的水清洗后，水果上残存的农药量为

2比，所以用

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1m1?f()?[]2 mm21?()21?()222 两种方案中残存的农药量之差为

11m2(m2?8)2?[]? 2222m1?m(1?m)(4?m)1?()22 于是可得下面的结论：

当m?22时，把水分成2等份清洗，水果上残存的农药量较少； 当m?22时，两种方案的清洗效果一样；

当m?22时，仅清洗一次，水果上残存的农药量较少。

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