当前位置：首页 > 人教版高中数学选修2-2归纳与类比教学讲义
①本题是由部分到整体的推理，先把部分的情况都写出来，然后寻找规律，概括出整体的情况，是典型的归纳推理． ②归纳常常从观察开始，观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，是数学研究的基本方法之一． ③归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进一步证明．在归纳猜想数列的前n项和公式时，要认真观察数列中各项数字间的规律，分析每一项与对应的项数之间的关系． ④虽然由归纳推理所得到的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，对于数学的发现却是十分有用的． 举一反三： 【变式1】在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，猜想an是( ) A．2n-2－B．2n-2 C．2n-1＋1 D．2n-1－4 【变式2】用推理的形式表示等差数列1，3，5，…，（2n－1），…的前n项和Sn的归纳过程． 【变式3】各项均为正数的数列{an}，a1=a，a2=b，且对满足m+n=p+q的正整数m，n，p，q都有ap?aqam?an14?．当a?，b?时，求通项公式an． (1?am)?(1?an)(1?ap)(1?aq)251 2 例3．平面内的1条直线把平面分成2部分，2条相交直线把平面分成4部分，3条相交但不共点的直线把
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平面分成7部分，n条彼此相交而无三条共点的直线，把平面分成多少部分？ 【思路点拨】可通过画当直线条数n为3，4，5时，分别计算出它们将平面分成的区域数Sn，从中发现规律，再归纳出结论． 举一反三： 【变式1】根据给出的数塔猜测123456×9+7等于 ． 1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1111 1234×9+5=11111 …… 【变式2】根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有个点．( ) A． n2?1 B． n2?n C． n+1 D． n2?n?1 【变式3】将正△ABC分割成n2（n≥2，n∈N）个全等的小正三角形（如图2-1-1-1，图2-1-1-2分别给出了n=2，
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3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别成等差数列，若顶点A，B，C处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f（n），则有f（2）=2，f（3）=________，…，f（n）=________． 类型三：类比推理的概念 例4． 下面几种推理是类比推理的是（ ） A． 由圆的性质可知球的有关性质 B． 由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，推出所有三角形的内角和都是180° C． 教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了 D． 三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n-2)·180° 【思路点拨】根据类比推理的概念及特征解析． 【变式1】类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( ) ①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等 ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 A．① B．①② C．①②③ D．③ 【变式2】由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”； 第 7 页 共 15 页
②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”； ③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”； ④“t≠0，mt＝xt?m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p ? a＝x”； ⑤“mgn＝mgn”类比得到“mgn＝mgn”； ⑥“acaagca=”类比得到“=”． bcbbgcb以上式子中，类比得到的结论正确的是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 类型四：类比推理的应用 例5． 在?ABC中，若?C?900，则cos2A?cos2B?1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想． 【思路点拨】解决此类问题的关键是如何用类比推理的方法去分析问题，研究当条件变化时，问题的本质有哪些不同，有哪些变化，本题中“三角形从同一顶点出发的两条边垂直”类比“三棱锥从同一顶点出发的三个平面互相垂直”，“三角形两个直角边与底边所成的角”类比“三棱锥中三个互相垂直的面与第四个平面所成的角”．再利用立体几何的知识加以证明． （1）找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积，平面上的角对应空间角等等； （2）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等 举一反三： a2?b2【变式】在△ABC中，若BC⊥AC，AC=b，BC=a，则△ABC的外接圆半径r?．将此结论拓展到2空间，可得出的正确结论是：在四面体S—ABC中，若SA、SB、SC两两垂直，且SA=a，SB=b，SC=c，则四面
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