人教版高中数学选修2-2归纳与类比教学讲义

励 学 国 际 学 科 学 生 讲 义

年 级 ： 上 课 次 数 ： 学 员 姓 名 ： 辅 导 科 目 ：数学 学 科 教 师 ：宋冰洁 课 题 课 型 授课日期及时段 归纳与类比 □ 预习课 □ 同步课 ■ 复习课 □ 习题课 教 学 内 容 归纳与类比 【要点梳理】 要点一：合情推理 数学推理是由一个或几个已知的判断(或前提)，推导出一个未知结论的思维过程．数学推理一般包括合情推．．．．理和演绎推理．本章节主要讲解合情推理． 1.概念 合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），推测出某些结果的推理方式． 2.特征 合情推理是一种合乎情理的似真推理，它的前提为真，结论可能为真． 3.常用方法 人们根据合情推理的特征、作用、范例和模式以及经验的积累，总结出数学中常用的合情推理方法有：观察、实验、联想、猜测、直观、归纳、类比、推广、限定、抽象等． 其中归纳推理和类比推理和合情推理的两种主要形式． 4.推理过程： 要点诠释： （1）由合情推理的结论往往超越了前提所包含的范围，带有猜想的成分，因此推理所得的结论未必正确，但是，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供证明的思路和方向的作用． （2）注意合情推理和演绎推理的区别．演绎推理是从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个 第 1 页 共 15 页

特殊情况下的结论的推理，是由一般到特殊的推理．演绎推理的特征是前提为真，结论必为真． 要点二：归纳推理 1.概念 根据某类事物的部分对象具有某种特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）． 2.特征 （1）归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围． （2）归纳推理是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的想象，因而结论具有猜测的性质． （3）归纳推理的前提是特殊的情况，所以归纳推理是立足于观察、实验和经验的基础上的． （4）由归纳推理的结论虽然未必可靠，但它由特殊到一般、由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现却是十分有用的． 3.一般步骤 4.一般模式 已知S1，S2，S3，Sn是A类事物的对象， S1具有特征P， S2具有特征P， 观察特例发现相似性 推广为明确表述的一般命题（猜想） 检 验 …… Sn具有特征P， 所以A类事物具有特征P． 5.有关归纳的两个概念 完全归纳推理：通过对某类事物中的每一个对象或每一子类的考察，从中概括出关于此类事物的一般性结论的推理，又叫完全归纳法．由于完全归纳推理考察了某类事物的全部情况，因而由正确的前提必然能得到正确的结论，所以完全归纳法可以作为数学严格证明的工具，在数学解题中有着广泛的应用． 不完全归纳推理：通过对某类事物的一部分对象或一部分子类的考察，从中概括出关于该类事物的一般性结论的推理，又叫完全归纳法．由于不完全归纳推理是对某类事物中的某一部分对象进行考察，因此，前提和结论之间未必有必然的联系，由不完全归纳法得到的结论，结论不一定正确，结论的正确与否，还需要经过严格的逻辑论证和实践检验． 要点诠释：

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归纳推理的结论可真可假．归纳推理一般都是从观察、实验、分析特殊情况开始，提出有规律性的猜想； 一．．．．般地，归纳的个别情况越多，就越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠．由于归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以归纳推理所得的结论不一定是正确的． 要点三：类比推理 1.概念 两类不同的对象具有某些共同的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程叫类比推理． 2. 特征 （1）类比是根据已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识为基础，类比出新的结果； （2）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性； （3）类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能． 3.一般步骤 （1）找出两类事物之间可以确切表述的相似性或一致性． （2）用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）． （3）检验猜想． 4.一般模式 已知性质a，b，c与性质a'，b'，c'相似或相同． A类事物具有性质a，b，c，d； B类事物具有性质a'，b'，c'， 所以B类事物也具有性质d． 要点诠释： （1）如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠． （2）事物之间的各个性质之间，并不是孤立存在的，而是相互联系的，相互制约的，如果两个事物在性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似．因而类比的结论可能是真的，类比也可能具有必然性． （3）类比的结论具有偶然性，即可能真，也可能假． 【典型例题】

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类型一：归纳推理的概念 例1． 下列推理是归纳推理吗？为什么？ （1）金受热后体积膨胀， （2）当n=0时，n2?n+11=11； 银受热后体积膨胀， 当n=1时，n2?n+11=11； 铜受热后体积膨胀， 当n=2时，n2?n+11=13； 铁受热后体积膨胀， 当n=3时，n2?n+11=17； 锌受热后体积膨胀， 当n=4时，n2?n+11=23； 金、银、铜、铁、锌都是金属， 11，11，13，17，23都是质数， 所以，所有的金属受热后都体积膨胀． 所以，对于所有的自然数n，n2?n+11的值都是质数． 【思路点拨】根据归纳推理的概念判断，观察是否是从特殊到一般的推理，是否符合归纳推理的一般模式． 【变式】下列推理是归纳推理的是（ ） A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a＞|AB|，则P点的轨迹为椭圆 B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式 C．由圆x2 ＋y2 ＝r2 的面积πr2 ，猜想出椭圆的面积 D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 类型二：归纳推理的应用 例2． 用推理的形式表示数列13,23,33,43,???,n3,???的前n项和Sn的归纳过程． 【总结升华】

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