概率论的基本概念经典习题-1

经典习题—古典概率部分

1、设A,B为随机事件，且0?P(A),P(B)?P(A)?P(B)?1。

⑴．若A,B相互独立，则P(AB)?P(A)P(B),P(AUB)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)； ⑵．若A,B互斥，则P(AB)?0,P(AUB)?P(A)?P(B)；

⑶．若已知P(A),P(B)，则P(A)?P(B)?1?P(AB)?min?P(A),P(B)?； ⑷．若已知P(A),P(BA),P(AB)，则

P(AB)?P(A)P(BA)?P(B)P(AB),P(B)?P(B?A)?P(B)?P(AB)?P(A)P(BA)，

P(AB)P(A)P(BA)?1?P(AB)?，

P(AB)P(A?B)?P(A)?P(AB)?P(A)?1?P(BA)?，

P(AUB)?P(A)?P(B?A)?P(A)?1?P(BA)?。 ■

P(AB)2、设A,B为随机事件，且0?P(A),P(B)?1，证明: ⑴.若P(BA)?P(BA)，则A,B独立； ⑵.若P(AB)?P(A)，则P(BA)?P(B)。 证明:由于0?P(A),P(B)?1，故 ⑴.若P(BA)?P(BA)，则

P(AB)P(AB)P(B)?P(AB)?P(BA)?P(BA)??， P(A)P(A)1?P(A) 故P(AB)?P(A)P(B)，即A,B独立；

⑵.若P(AB)?P(A)，则P(AB)?P(B)P(AB)?P(A)P(B)，故

P(BA)?■

P(AB)P(A)P(B)??P(B)P(A)P(A)。

3、设P(A)?P(B)?1，则P(AB)?P(AB)。

证明:P(AB)?P(AUB)?1?P(AUB)?1?P(A)?P(B)?P(AB)?P(AB)。

4、进行n次独立重复试验，每次试验中事件A发生的概率都是P(A)???0，若A发生k次，则B发生的概率为?k,k?0,1,...,n，求B发生的概率。

kkn?k解: 用Ak表示在n次独立重复试验中事件A发生k次，则P(Ak)?Cn?(1??)，故

P(B)?■

0?k?n?P(Ak)P(BAk)?0?k?n?Ckn?k?k(1??)n?k。

5、进行独立重复试验，直到事件A发生为止，若每次试验中A发生的概率都是P(A)???0，求A迟早要发生的概率。

解:用Ak表示在第k次试验中事件A发生，B表示A迟早要发生，则P(Ak)???0，故 P(B)?1?k????P(A1A2???Ak?1Ak)?1?k?????(1??)k?1?1，

只要试验中A发生的概率P(A)???0，则在独立重复试验中，A迟早会发生。 ■ 6、把一个表面涂上颜色的正立方体锯成N?m个大小相同的小立方体，再将它们充分混合后，放回地随机取n个，其中m?3,n?1为自然数，求所取的n个小立方体中，k个面上有颜色的个数恰为xk,k?0,1,2,3的概率。

解: 以正方体的某一顶点为原点、过该顶点的三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标系，不妨设正立方体的棱长为a?0，则将其锯成N?m个大小相同的小立方体，就是沿三组平面:

33x?iam,y?jam,z?kam,i,j,k?1,2,...,m?1锯开，这样锯开后:

只有位于原来立方体顶点处的小立方体之三面有色(共有m3?8个)，位于原来立方体棱上的小立方体之两面有色(出去顶点处的8个，共有m2?12(m?2)个)，位于原来立方体表面的小立方体之两

23面有色(出去顶点处的8个及棱上m2个，共有m1?6(m?2)个)，其余m0?(m?2)个是表面无色

的，用Ai表示任取的一个小立方体是i面有色的，则

?(m?2)3m3,??6(m?2)2m3,?pi?P(Ai)?miN???12(m?2)m3,?3??8m,若i?0若i?1，

若i?2若i?3故所取的n个小立方体中，k个面上有颜色的个数恰为xk,k?0,1,2,3的概率为:

x0x1x2x3n!p0p1p2p3(m?2)3x0?2x1?x23x1?x22x1?2x2?3x3n! P(B)?， ?3nx0!x1!x2!x3!m?x0!x1!x2!x3! 其中0?x0,x1,x2,x3?n为整数，且x0?x1?x2?x3?n。 ■ 7、某种商品的商标应为“MAXAM”,其中两个字母脱落,有人捡起来后随意放回，求放回后仍为“MAXAM”的概率。

解:用Aij表示脱落的字母为商标“MAXAM”中第i,j个字母(从左数起)，1?i?j?5，用B表示将脱落的字母放回后仍为“MAXAM”,则

P(Aij)??1,若(i,j)?(1,5)或(2,4)11?,1?i?j?5，P(BAij)??，故 C521012,若(i,j)?(1,5),(2,4)?1113?1?8????0.6101025P(B)??P(Aij)P(BAij)?2?1?i?j?5。

■

8、设有m?4个人，a,b是其中的两人，在下列情形下，分别求a,b之间恰有k人的概率: ⑴. m?4人排成一排； ⑵. m?4人排成一圈。

解:用?表示试验的样本空间，Ak表示所求的事件，则问题是古典概率问题。

⑴. 若m?4人排成一排，则??m!，而事件Ak发生当且仅当“a排在第i个位置，而b排在第

，i?1,2,...,m?k?1，(i?k?1)个位置”或“b排在第i个位置，而a排在第(i?k?1)个位置”故Ak?2(m?k?1)(m?2)!，从而a,b之间恰有k人的概率为:

Ak2(m?k?1)(m?2)!2(m?k?1)P(Ak)???,0?k?m?2；

?m!m(m?1)⑵. 若m?4人排成一圈，则此时以a所在的位置为第一位，按顺时针方向依次为第2,3,...,m位，从而??(m?1)!，而事件Ak发生当且仅当“以a所在的位置为第一位，按顺时针方向计算，b排在第(k?1)个位置，或b排在第(m?k?1)个位置”，故

①．若m?2n?1?3为奇数，则Ak?2(m?2)!?2(2n?1)!,k?0,1,...,n?1，故 P(Ak)?Ak2(m?2)!21???,k?0,1,...,n?1； ?(m?1)!m?1n??2(m?2)!?2(2n)!,若k?0,1,...,n?1②．若m?2n?2?3为偶数，则Ak??，故

若k?n??(m?2)!?(2n)!,22?2(m?2)!???(m?1)!m?12n?1,若k?0,1,...,n?1Ak? P(Ak)?； ????(m?2)!11???(m?1)!m?12n?1,若k?n?上述①②还可以统一表示为:

2?2(m?2)!??(m?1)!m?1,A?P(Ak)?k????3?(?1)m(m?2)!3?(?1)m??,?2(m?1)!2(m?1)?若k?0,1,...,?m2??2。 ■

若k??m2??19、从n双不同尺码的鞋子中随机地取2m只，求所取的鞋子中恰好有2k只能配成k双鞋的概率(其中

1?m?n，且max?2m?n,0??k?m)。

解:用?表示试验的样本空间，A表示所求事件，则很显然这是古典概率问题，且

2m12m?2kk2m?2km?k?k2k??2m?2k(C2? ??C2)?CCn?k4，故 nn，A??Cn(C2)??Cn?k?k2m?2km?k2m P(A)?A??Cn ■ Cn?k4C2n,max?0,2m?n??k?m。

10、设有m?1个袋子，每个袋中装有n?1种颜色的球，其中第i个袋中所含第j种颜色的球数为

aij?0,且?aij?1,i?1,2,...,m,j?1,2,...,n，先随机地取一个袋子，再从所选的袋子中随机

1?j?n地取一球，求所取的球是第j种颜色的概率。

解:用Ai表示选袋子时，选到的是第i个袋子，Bj表示最后取到的是第j种颜色的球，并记

Ni?ai1?ai2?????ain，则P(Ai)?在由全概率公式得P(Bj)?aij1,P(BjAi)?,i?1,2,...,m,j?1,2,...,n， mNiaij1,j?1,2,...,n。 ■ ?m1?i?mNi1?i?m?P(Ai)P(BjAi)?11、工厂检查产品质量时，对每批产品进行放回抽样检查，如果在抽取到k件时发现次品(k?n)，则立即停止检查，并认为这批产品不合格；如果连续抽取的n件都合格，则也停止检查，并认为这批产品合格。若某产品的次品率为0?p?1，求这批产品抽检的样品数为k的概率。 解:用Ak表示抽检的第k件样品合格，X表示这批产品抽检的样品数，则

k?1?P(AA???AA)?p(1?p),若k?1,2,...,n?112k?1k? P(X?k)??n??P(A1A2???An?1An?A1A2???An?1An)?(1?p),若k?n。

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12、为了估计某湖中鱼的数量，捕捉了M?1000条鱼，给其做上标记后放回到湖中，再从中重新捕捉了n?150条鱼，结果发现有m?10是做了标记的，问湖中有多少条鱼的可能性最大

解:设湖中有N条鱼，其中做了标记的有M?1000条，其余是未做标记的，则湖中重新捕捉的n?150条鱼中有m?10条做了标记的鱼的概率为: