2003级硕士生“概率论与随机过程”试题

2003级硕士生“概率论与随机过程”试题

任课教师：唐碧华

（请将答案写在答题纸上，否则一律无效）

一、概念题：（每小题5分，共15分）

1．简述可测函数的基本概念，并说明它与随机变量的区别与联系。 2．用数学语言描述马尔可夫过程。 3．用数学语言描述Lebesque-Stieltjes积分。 二、填空题（每小题3分，共9分）

1．在 条件下，P(A/B) = P(A)；在 条件下，P(A∪B) = P(A) + P(B)。

??k??qkp,0?p?1,q?1?p,k?0,1,2,?，则ξ的特征函数 2．设ξ服从分布：P?为 。

3．在 条件下，两个随机过程{X(t)，t∈T}，{Y(t)，t∈T}相互正交；在 条件下，两个随机过程互不相关。 三、（10分）设随机变量(X,Y)的联合分布律为： Y X 1 2 3 0 1/4 1/16 0 1 0 1/4 1/16 2 0 0 1/16 3 1/16 1/4 0 （1）求X,Y的边缘分布律； （2）判断X与Y是否相互独立； （3）求X?2时Y的条件分布律； （4）求X?2时Y的条件数学期望； （5）求X?2时Y的条件方差

四、（12分）设（X,Y）的联合密度函数为：

?1?xyx2?y2?1　　　f(x,y)??4??0????x?1,y?1其它　　　以?1?t?，?2?t?分别表示X，Y的特征函数，并令Z?X?Y的特征函数为??t?，试证：??t???1?t???2?t?，但X，Y不独立。五、（7分）证明：两个??代数之交仍为??代数。六、（7分）设??n,n?1,2,??是取值为0或1的独立随机变量序列，其分布为p?1??1n和p?0??1?1，证明??n?均方收敛于零。n七、（10分）给定一个随机变量??t?和任意实数x，定义另一个随机过程：??1??t??x　　　??t???　　??0??t??x证明??t?的均值函数和自相关函数分别为??t?的一维和二维分布函数。八、（10分）有三个黑球和三个白球。把这六个球任意等分给甲、乙两个袋中，并把甲袋中的白球数定义为该过程的状态，则有四个状态：0，1，2，3。现每次从甲、乙两袋中各取一球，然后相互交换，即把从甲袋取出的球放入乙袋，把从乙袋取出的球放入甲袋，经过n次交换，过程的状态为X?n?,n?1,2,3,4?。 （1）试问该过程是否为马尔可夫链； （2）计算它的一步转移概率矩阵。 九、（10分）设马氏链的转移概率矩阵为：

?1?p??0P?? ?1?p???0p00??p??0?试讨论该马氏链的状态分类、周期及平稳分布。 ?0??01?pp100十、（10分）设随机过程X?t??Asin?2??1??2?，其中A为常数，?1和?2为相互独立的随机变量，?1的概率密度函数为偶函数，?2在???,??内均匀分布，证明： （1）X?t?为宽平稳过程； （2）X?t?的均值是各态历经的。