南京师范大学硕士研究生招生入学考试数学分析试题

南京师范大学2004年硕士研究生招生入学初试试题

数学分析试题

一、（每小题7分，共28分）计算或证明下列极限： 1． lim1?22n?1?2n?x2n??n?2???2222n?(n?1)?；

?2． limxex???2???xe?t22dt；

3． 证明：若函数f(x)在[a,b]上严格增加，xn?(a,b)(n?1,2,?)，且

limf(xn)?f(a)，

n??则limxn?a．

n??4． 讨论二元函数

f(x,y)?xy22222xy?(x?y)

在点(0,0)处的重极限与累次极限．

二、（16分）设f(x)在(a,b)内连续，且满足：

f(x)?f(t)dt?0(x?(a,b))．

ax证明：f(x)?0．

三、（15分）设函数f(x)在[0,1]上单调减少，对任何正整数n，试证明下列不等式

10?f(x)dx?1nn?k?1kf(0)?f(1)， f()?nn并说明该不等式的几何意义．

四、（15分）设f(x)在[0,1]上可微，且f(0)?0，若存在0?M?1，使得

f?(x)?Mf(x)(x?[0,1])，

证明：在[0,1]上，f(x)?0． 五、（16分）设?an?为数列，令

1?0, x?0或?x?1?n?1?fn(x)??an, x?

2n?111?线性 0?x?或?x??2n2nn?问：（1）?fn(x)?在[0,1]上是否处处收敛？

（2）为使?fn(x)?在[0,1]上一致收敛，当且仅当?an?满足什么条件？ （3）为使limn???10fn(x)dx???10n??nlimfn(x)dx，当且仅当?an?满足什么条件？

六、（15分）证明级数?n?1x?n(?1)x?n22的和函数在(??,??)上的连续性．

七、（15分）设u(x)是由方程

u?f(x,y),g(x,y,z)?0,h(x,z)?0

?h?z所确定，且?0，

?g?y?0，试求

dudx．

八、（15分）设[a]表示a的最大整数部分，计算

2??[y?x]dxdy．

2x?y?3九、（15分）设二元函数f(x,y)为[a,b]?[c,??)上的连续非负函数，

I(x)????cf(x,y)dy

在[a,b]上连续，证明I(x)在[a,b]上一致收敛．

南京师范大学2005年硕士研究生招生入学考试初试试题

数学分析试题

一、（每小题5分，共15分）简答题：判断下列命题是否正确，并简要说明理由： 1． 若级数?un收敛，vn?1(n??)，则?unvn收敛． 2． 设非正常积分???af(x)dx收敛，且???af?(x)dx也收敛，则limf(x)?0．

x???3． 闭区间[a,b]上的具有介值性（即f(x)能取到f(a)与f(b)之间的一切值）的单调函 数必一致连续．

二、（共40分，其中第5题5分，其余每小题7分）计算下列各题：

xsin3121． limx?0sin3xnx;

2． limn???k?1(2n)!cosnan!(a?1);

1?2x?3x3． lim?xxx?0?2?3?22?x?； ??4．?x2100(1?x)dx；

5． 讨论二元函数f(x,y)?22x?y233x?y在点(0,0)处的重极限与累次极限；

6．若lnx?y?arctanyx，求y?和y??．

三、（15分）设在[a,??)上函数f(x)?0，且单调递减，并对任意的A?a，f(x)在[a,A] 上可积．试证明：???af(x)dx与?x2??af(x)cosxdx具有相同的敛散性．

x22四、（16分）证明：x?2?ln(1?x)?x?2(1?x),x?0．

五、（18分）给定函数列fn(x)?xen?nxk(n?1,2,3,?)，试问k取何值时，

?fn(x)?在[0,??)上

（1）收敛； （2）一致收敛；

（3）积分、极限可交换，即lim?n?????0fn(x)dx?x???0limfn(x)dx．

n??六、（15分）研究级数?cosn?1(2n?1)x2n(n?1)sin2n(n?1)在

（1）[?l,l](l?0)； （2）(??,??) 上的一致收敛性． 七、（16分）将三重积分

J??1?1dx?1?x2?1?x2dy?1x?y22f(x,y,z)dz

化为先对x，后对y，最后对z的新的累次积分． 八、（15分）证明含参量非正常积分?一致收敛．

??0sinxyydy在[a,??)上一致收敛，但在(0,??)上不

南京师范大学2006年硕士研究生招生入学考试初试试题

数学分析试题

一、（每小题5分，共10分）简答题：判断下列命题是否正确，并简要说明理由． 1． 若f(x)在区间I上有原函数且单调，则f(x)在区间I上连续． 2． 若非正常积分???0f(x)dx收敛，则limf(x)必存在．

x???二、（每小题10分，共30分）计算下列极限： ?cosx?1． lim??x?0?cos2x?2x2；

2． lim?n!?n??n?2；

223．

(x,y)?(0,0)lim(x?y)ln(x?y)

三、（15分）设f(x)在[0,1]上连续且大于0，令