排列组合题型总结与易错点提示

八.排列组合混合问题先选后排策略

例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.

解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C52种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)

24装入4个不同的盒内有A44种方法，根据分步计数原理装球的方法共有C5A4

解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗? 练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一

种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种

九.小集团问题先整体后局部策略

例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的

五位数有多少个？

22解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有A22种排法，再排小集团内部共有A2A2种排

22法，由分步计数原理共有A22A2A2种排法 .15243 练习题：

１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一

54品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为A2A25A4

552. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有A22A5A5种

十.元素相同问题隔板策略

例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？

解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中

选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有C96种分法。

一班二班三班四班五班六班七班 将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个 空隙中，所有分法数为m?1

Cn?1

练习题：

1．10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？ C94

32 .x?y?z?w?100求这个方程组的自然数解的组数 C103

十一.正难则反总体淘汰策略

例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的

取法有多少种？

解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶

312数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有C5,只含有1个偶数的取法有C5C5,和为偶

123123数的取法共有C5。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有C5C5?C5C5?C5?9

有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.

练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的

抽法有多少种?

十二.平均分组问题除法策略

例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？

222 解: 分三步取书得C6C4C2种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF，若第

222一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则C6C4C2中还有

(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有A33种取法 ,而这些分

2223法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有C6种分法。 C4C2/A3 n平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以An(n为均分的组数)避免重复计数。

练习题：

5421 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？（C13） C84C4/A22.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法 （1540）

3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______

2222（C4C2A6/A2?90）

十三. 合理分类与分步策略

例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴

舞的节目,有多少选派方法

解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有C32C32种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人

112员C5C3C4种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有C52C52种，由分类计数原理共有

2211222C3C3?C5C3C4?C5C5种。

解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次

清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。

练习题：

1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有34

2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. （27） 本题还有如下分类标准：

*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果

十四.构造模型策略

例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的

2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？

3解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有C5 种

一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决 练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120）

十五.实际操作穷举策略

例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法

解：从5个球中取出2个与盒子对号有C52种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，

如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理

23号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有2C5种

3号盒 4号盒 5号盒

对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果

练习题：

1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？

十六. 分解与合成策略

例16. 30030能被多少个不同的偶数整除

分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13，依题意可知

偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为：12345 C5?C5?C5?C5?C5练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线

解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共C84?12?58,每个四面体有3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成3?58?174对异面直线

分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略

534

十七.数字排序问题查字典策略

例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？

54321解:N?2A5?2A4?A3?A2?A1?297 数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数。 练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71

个数是 3140

十八.树图策略

例19．3人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的手中,则不

同的传球方式有______ N?10

对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用 练习: 分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中i号人不坐i号椅（i?1,2,3,4,5）的不同坐法

有多少种？N?44

十九.复杂分类问题表格策略

例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字

母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法

解: 红 1 1 1 2 2 3

黄 1 2 3 1 2 1

兰 3 2 1 2 1 1

111213131 取法 C5C4 C5C4 C5C4 C52C3C52C32 C5C2

一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手,经常出现重复遗漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须 满足的条件,能达到好的效果.

二十：住店法策略

解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解. 例21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 . 分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得75种.

排列组合易错题正误解析

1没有理解两个基本原理出错

排列组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提.

例1 从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种.

例2 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种.

33（A）A4 （B）43 （C）34 （D）C4

2判断不出是排列还是组合出错

在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合.

例3 有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？ 3重复计算出错

在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数，产生错误。

例4 5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）