电磁场与电磁波（第4版） 习题第2章

（3）H?exax?eyay, （4）H?e?ar,B??0H

B??0H （球坐标系）

解 根据静态磁场的基本性质，只有满足??B?0的矢量函数才可能是磁场的场矢量，对于磁场矢量，则可由方程J???H求出源分布。

（1）在圆柱坐标中 ??B???1?(?B?)?0(a?2)?2a?0?0 ??????可见矢量H?e?a?不是磁场的场矢量。 （2） 在直角坐标系中

??(?ay)?(ax)?0 ?x?y故矢量H?ex??ay??eyax是磁场矢量，其源分布为

??B?exeyez???J???H??ez2a

?x?y?z?ayax0??(ax)?(?ay)?0 （3） ??B??x?y故矢量H?exax?eyay是磁场矢量，其源分布为

exeyezJ???H?????0

?x?y?zax?ay0 （4） 在球坐标系中

1?B?1???B??(ar)?0

rsin???rsin???故矢量H?e?ar是磁场的场矢量，其源分布为

er1?J???H?2rsin??r0re????0rsin?e???eracot??e?2a ??ar2sin?

2.22 通过电流密度为J的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，其横截面如题2.22图所示。试计算各部分的磁感应强度，并证明空腔内的磁场是均匀的。

解 将题给的非对称电流分布分解为两个对称电流分布的叠加：一个是电流密度J均匀分布在半径为b的圆柱内，另一个是电流密度?J均匀分布在半径为a的圆柱内。原有的空腔被看作是同时存在J和?J两种电流密度。这样就可以利用安培环路定律分别求出两种对称电流分布的磁场，再进行叠加即可得到解答。

由安培环路定律

??B?dl??I，先求出均匀分布在半径为b的圆柱内的J产生的磁场为

C0 2－5

??0?2J?ρb?b?b?Bb?? 2?bJ?ρb?0?b?b2??b?2同样，均匀分布再半径为a的圆柱内的?J产生的磁场为

??0??2J?ρa?a?a?Ba?? 2?aJ?ρa??0?a?a2??a?2这里ρa和ρb分别是点oa和ob到场点P的位置矢量。

将Ba和Bb叠加，可得到空间各区域的磁场为

ρb ρa a J d b ob oa 题2.22图

?b2a2?J??2ρb?2ρa? (?b?b) 圆柱外：B?2?a???b??0a2?J??ρb?2ρa? (?b?b,?a?a) 圆柱内的空腔外：B?2?a???0 空腔内： B??02J??ρb?ρa???02J?d (?a?a)

式中d是点和ob到点oa的位置矢量。由此可见，空腔内的磁场是均匀的。

2.24 一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场B?ez5cos?tmT之中，如题2.24图所示。 滑片的位置由x?0.35(1?cos?t)m确定，轨道终端接有电阻R?0.2电流i。

解 穿过导体回路abcda的磁通为

题2.24图

?；试求感应

y a i 0.2m B d 0.7m c R b x ???B?dS?ezB?ezab?ad?5cos?t?0.2(0.7?x) ?cos?t??0.7?0.35?1?cos?t????0.35cos?t?1?cos?t?

故得感应电流为

i?1d?1???0.35?sin?t?1?2cos?t?RRdt0.2 ??1.75?sin?t?1?2cos?t?mA??2－6

?in

2.25 平行双线与一矩形回路共面，如题2.25图所示。设a=0.2m，b=c=d=0.1m，

i?0.1cos?2??107t?A，求回路中的感应电动势。

解 由安培环路定律求出平行双线中的电流在矩形回路平面任一点产生的磁感应强度分别为

B左?B右??0i2?r2??b?c?d?r??0i

i

a i

它们的方向均为垂直于纸面向内。

回路中的感应电动势为

?in??式中

dd?B?dS??B左dS??B右dS? ??S?dtSdt?Sb c 题2.25图

b?cd ?0i?0ai?b?c?adr?ln?? ?Sb2?r2??b?c?d?0i?0ai?b?c?BdS?adr?ln?? ?S右?d2??b?c?d?r?r2??b?B左dS??则

?in??2?0ab?cdd??0aib?c?ln()??ln()?0.1cos(2??107t)???? ??dt?2?b??bdt4??10?7?0.2??ln2?0.1sin(2??107t)?2??107?0.348sin(2??107t)V

?

2.26 求下列情况下的位移电流密度的大小： （1）某移动天线发射的电磁波的磁场强度

H?ex0.15cos?9.36?108t?3.12y?（2）一大功率变压器在空气中产生的磁感应强度

A/m；

B?ey0.8cos?3.77?102t?1.26?10?6x?（3）一大功率电容器在填充的油中产生的电场强度

T； MV/m

2MA/m，设金属导体的

E?ex0.9cos?3.77?102t?2.81?10?6z?设油的相对介电常数?r?5；

?t?117.1z?（4）在频率f?60Hz下的金属导体中，J?exsin?377???0,???0,??5.8?107S/m。

?D解 （1）由??H?得

?texJd??D????H??t?xHxey??y0ez?Hx???ez?z?y0

??ez??0.15cos(9.36?108t?3.12y)????y??ez0.468sin(9.36?108t?3.12y)A/m2

2－7

故

Jd?0.468A/m2

（2）由??H??D?t,B??0H得

exJd??D11????B??t?0?0?x0ey??yByez?1?By?ez?z?0?x0

?ez1??0.8cos?3.77?102t?1.26?10?6x????0?x??ez0.802sin?3.77?102t?1.26?10?6x?A/m2故

Jd?0.802A/m2

?（3） D??r?0E?5?0??ex0.9?10cos3.77?10t?2.81?10z?

62?6???ex5?8.85?10?12?0.9?106cos?3.77?102t?2.81?10?6z?

Jd?故

?D??ex15?10?3sin?3.77?102t?2.81?10?6z?A/m2 ?tJd?15?10?3A/m2

（4） E?1e106sin?377t?117.1z? 7x?5.8?10?ex1.72?10?2sin?377t?117.1z?V/m

?JD??E?ex8.85?10?12?1.72?10?2sin?377t?117.1z?Jd??D?ex15.26?10?14?377cos?377t?117.1z??t?ex57.53?10?12cos?377t?117.1z?A/m2

故

Jd?57.53?10?12A/m2

2.27 同轴线的内导体半径a=1mm，外导体的内半径b=4mm，内外导体间为空气，如题2.27图所示。假设内、外导体间的电场强度为E?e?100?cos?108t?kz?V/m

z b （1）求与E相伴的H；（2）确定k的值；（3）求内导体表面的电流密度；（4）求沿轴线0≤z≤1m区域内的位移电流。

解 （1）维系电场E和磁场H的是麦克斯韦方程。将??E???0标系中展开，得

a ?H在圆柱坐?t?H11?E?100k????E??e???e?sin?108t?kz? ?t?0?0?z?0?将上式对时间t积分，得

题2.27图

2－8