成都七中导数-极值点

江苏省清江中学新课程选修2—2一体化教学案 编者：陈书林 审核人：韩怀兵

1.3.2函数极值点

教学目标：

（1） 知识技能目标：

了解函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，提升思维水平；

掌握利用导数求可导函数的极值的一般方法； 了解可导函数极值点x0与f?(x0)=0的逻辑关系；

培养学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力. 过程与方法目标：

培养学生观察 分析 探究 归纳得出数学概念和规律的学习能力。 （2） 情感与态度目标：

培养学生层层深入、一丝不苟研究事物的科学精神； 体会数学中的局部与整体的辨证关系. 教学重点、难点：

重点：掌握求可导函数的极值的一般方法.

难点：x0为函数极值点与f?(x0)=0的逻辑关系. 教学过程：

一、 问题情境

利用学生们熟悉的海边体育运动—冲浪，直观形象地引入函数极值的定义. 观察下图中P点附近图像从左到右的变化趋势、P点的函数值以及点P位置的特点 y y=f(x)

P(x1,f(x1))

Q(x2,f(x2))

o x1 x x3 a b 函数图像在P点附近从左侧到右侧由“上升”函数由单调递增变为单调x ”变为“下降（y 递减），在P点附近，P点的位置最高，函数值最大 二、学生活动

学生感性认识运动员的运动过程，体会函数极值的定义. 三、数学建构

极值点的定义:

观察右图可以看出，函数在x=0的函数值比它附近所有

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各点的函数值都大，我们说f (0)是函数的一个极大值；函数在x=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f (2)是函数的一个极小值。

一般地，设函数y?f(x)在x?x0及其附近有定义，如果

f(x)f(x0)的值比x0附近所有

各点的函数值都大，我们说f (x0)是函数y?的一个极大值；如果f(x0)的值

f(x)比x0附近所有各点的函数值都小，我们说f (x0)是函数y?的一个极小值。极

大值与极小值统称极值。

取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。

请注意以下几点：(让同学讨论)

（ⅰ）极值是一个局部概念。由定义可知极值只是某个点的函数值与它附近点的函数

值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 （ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可

以不止一个。

（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，

如下图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)>f(x1)。

y

f(x4) f(x1)

o a x1 x x2 x3 x4 b

（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数

取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。

极值点与导数的关系:

复习可导函数在定义域上的单调性与导函数值的相互关系,引导学生寻找函数极值点与导数之间的关系.

由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有

f?(x)?0。但反过来不一定。若寻找函数极值点,可否只由f?(x)=0求得即可?

3探索:x=0是否是函数f(x)=x的极值点?（展示此函数的图形）

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在x?0处，曲线的切线是水平的,即f?(x)=0，但这点的函数值既不比它附近的点的

f?(x0)?0函数值大，也不比它附近的点的函数值小,故不是极值点。如果x0使，那么x0在

什么情况下是的极值点呢？

观察下左图所示，若x0是f(x)的极大值点，则x0两侧附近点的函数值必须小于f(x0)。因此，x0的左侧附近f(x)只能是增函数，即f?(x)?0，x0的右侧附近f(x)只能是减函数，即

f?(x)?0，同理，如下右图所示，若x0是极小值点，则在x0的左侧附近f(x)只能是减函

数，即f?(x)?0，在x0的右侧附近f(x)只能是增函数，即f?(x)?0，

y y f?(x)?0 f?(x0) f?(x)?0f?(x)?0f?(x)?0 f?(x0) o a x0 b x o a x0 b x 从而我们得出结论(给出寻找和判断可导函数的极值点的方法,同时巩固导数与函数单调性之间的关系）：

若x0满足f?(x0)?0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极值，并且如果f?(x)在x0两侧满足“左正右负”

如果f?(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)f(x0)是极大值；是极小值。

结论：x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f?(x0)=0

反过来是否成立?各是什么条件?

点是极值点的充分不必要条件是在这点两侧的导数异号；点是极值点的必要不充分条件是在这点的导数为0. 学生活动

函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为(D )

A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值 B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值 C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值 D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值 四、数学应用

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例题1:求函数y? 解：求导数得y/y在 y?0//13x?4x?4的极值。

23y , ?x?4 令y/?x?4?0， 解得x1?2， x2??22的根的左右的符号如下表所示：

x y (??,?2) (-2,2) － (2,??) + ??2+ ??2o x 1 因此，当x当x?2时，函数有极大值，把x1代入函数式，得这个极大值为9；

3时，函数有极小值?1。

3课堂训练:求下列函数的极值

32 1 （ 2）y?8x－12x?6x?1（1）y??x x

让学生讨论总结求可导函数的极值的基本步骤与方法： 一般地，如果函数y?f(x)在某个区间有导数，可以用下面方法求它的极值：

① 确定函数的定义域； ② 求导数f?(x)； ③ 求方程

f?(x)=0的根，这些根也称为可能极值点；

④ 检查f?(x)在方程f?(x)＝0的根的左右两侧的符号，确定极值点。(最好通过列表法)

强调:要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必须判断 f?(x0)=0左右侧导数的符号 例题2（案例分析）

322函数 f(x)?x?ax?bx?a在 x=1 时有极值10，则a，b的值为（C ）(选自《高中数学中学教材全解》薛金星主编） A、 或 a??4,b?11a?3,b??3a??4,b?1或 a??4,b?11B、

C、 D a??4,b?11、 以上都不对?a?3?a??4?1?a?b?a2?10或f(1)?10??略解:由题设条件得： ? ? 解之得 b??3?b?11?/??3?2a?b?0?f(1)?0?

通过验证，都合要求，故应选择A

上述解法错误，正确答案选C，注意代入检验 注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件

练习:

庖丁解牛篇(感受高考）

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1、（2006年天津卷）函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f?(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（ A ） yA．1个 B．2个 C．3个 D． 4个 Oa注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别

2、（2006年北京卷）已知函数f(x)?ax3?bx2?cx在点x0处取得极大值5，其导函数y?f'(x)的图象经过点

(1,0)，(2,0)，如图所示.求：

y?f?(x)b x（Ⅰ）x0的值； （Ⅱ）a,b,c的值. 答案 （Ⅰ）x0=1; （Ⅱ）a?2,b??9,c?12

五：回顾与小结：

1、极值的判定方法； 2、极值的求法 注意点：

1、f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件 2、数形结合以及函数与方程思想的应用

3、要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必须判断 f?(x0)=0左右侧导数的符号.

六：课外作业

1、课本Ｐ34习题1.3：３ 2、创新训练 3、思考题极值和最值的区别与联系

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