2019年高考数学专题函数的基本性质（第四季）压轴题必刷题理

专题01函数的基本性质第四季

1．对于函数

，若存在，使，若曲线

【答案】

，则称点

是曲线

的“优美点”，已知

存在“优美点”，则实数的取值范围为______.

由

与

联立，

可得由当且仅当即有

在有解，

，

时，取得等号， ，

，故答案为

的纵坐标与横坐标的函数关系式是

则的取值范围是

2．如图放置的边长为2的正三角形

， 有下列结论:

①函数③函数

的值域是

沿轴滚动, 设顶点

；②对任意的，都有；

.

是偶函数；④函数单调递增区间为

其中正确结论的序号是________. (写出所有正确结论的序号)

说明:

“正三角形沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动. 沿轴正方向滚动指的是先以顶点为中

可

心顺时针旋转, 当顶点落在轴上时, 再以顶点为中心顺时针旋转, 如此继续. 类似地, 正三角形以沿轴负方向滚动. 【答案】②③ 【解析】

点运动的轨迹如图所示. 由图可知：

的值域为

, ①错；

,

②正确；

是一个周期函数,周期为函数函数

的图象关于轴对称，为偶函数, ③正确； 的增区间为

和

, ④错，

故答案为②③.

3．函数f（x）＝ax｜2x+a｜在[1，2]上是单调增函数，则实数a的取值范围为___． 【答案】{a|a＞0或a＝﹣4} 【解析】 当

时，

为常数函数，不符合题意.当

，故函数在

时，由于

，故

时，令

函数

，解得

，.

函数开口向上，对称轴为上递增，符合题意.当

此时，故函数在上递减，在上递增，所以是

的子集，故，解得，故的取值范围是|x+t|（x∈R），（其中

或.

表示对于x∈R，当t∈[a，b]

4．设a，b∈R，a＜b，函数g（x）=

时，表达式|x+t|的最大值），则g（x）的最小值为______ 【答案】（b-a）

当-b＜x＜-，f（a）＞f（b），可得g（x）=f（a）=-a-x；

当-x≤a即x≥-a时，区间[a，b]为增区间，可得g（x）=f（b）=b+x．

则g（x）=

，

当x≤-b，g（x）≥b-a； -

≤x＜-a时，g（x）≥（b-a）；

当-b＜x＜-

，g（x）＞（b-a）；

x≥-a时，g（x）≥b-a． 则g（x）的最小值为（b-a）． 故答案为：（b-a）．

5．关于函数，下列命题中所有正确结论的序号是______．

①其图象关于轴对称； ②当时，是增函数；当

时，

是减函数；③

的最小值是

； ④

在区间

上是增函数；

【答案】①③④ 【解析】

函数，定义域为，定义域关于原点对称，以函数

是偶函数，图象关于轴对称，故①正确；

，所

令函数

在

，

上单调递减，证明如下： ，且

，

任取，

则因为，而所以故函数

在，

，所以， ，

上单调递减。 在

上单调递增，

单调递增，

，

，

同理可以证明函数又因为

在

利用复合函数单调性可知，在上单调递减，在上单调递增。

由于函数是偶函数，可知在上单调递增，在上单调递减。

的最小值为

所以②错误，③④正确。 综上正确的结论是①③④. 6．已知函数f（x）=x+lg（【答案】7 【解析】

根据题意，当x=a时，f（a）=3 代入化简可得f（a）=a+lg（当x=-a时，代入得 f（-a）= (-a)+lg（=-a+lg（

3

3

33

.

+x）+5，若f（a）=3，则f（-a）=______．

+a）+5=3，即a+lg（

3

+a）=-2

-a）+5

-a）+5