高二年级提高班 - 图文

第一讲 物体的平衡与运动

重庆南开中学 杨劲松

一、内容提要

（一）、矢量的运算

??????1、加法： a?b?c 2、减法：a?c?b

3、乘法： ⑴ 叉乘（力矩和角动量）：表达： a?b?c ⑵ 点乘（功）： a?b?c （二）、共点力的合成与分解

1、平行四边形法则与矢量表达式

2、一般平行四边形的合力与分力的求法：余弦定理求合力的大小；正弦定理解方向 3、按效果分解

4、按需要——正交分解 （三）、重力和重心

重心(或质心)的定义表达式为：

????????m1r1?m2r2??rC??m1?m2?????mr?ii?m?i1M?mr （1.1）

ii?xc?1mixi （1.2） ?M1yc??miyi （1.3）

M（四）、力矩 、力偶和力偶矩

???力矩大小等于力F和F的作用线到轴的距离(力臂)的乘积，方向垂直于位矢r与F所

成的平面．记为

???M?r?F?rFsin??Fd?Frr?rFF

（1.4）

一对大小相等、方向相反但不共线的力称为力偶．如图1所示，F1、F2即为力偶．力偶不能合成为一个力，是一个基本力学量．对于与力偶所在平面垂直的任一轴，这一对力的力矩的代数和称为力偶矩，注意到F1=F2=F，不难得到，M=Fd，式中d为两力间的距离．力偶矩与所选择的转轴无关． （五）、平行力的合成 （六）、摩擦角：

图 1

图 2

1

设正压力为N、摩擦力为f、合力为F，它们的矢量关系如图2所示，正好有关系

tan??即，由于正压力和摩擦力的特定关系，有可能把摩擦系数?用某个角度?的正切来描述，这个角?称为摩擦角，它是合力F与法向的交角．

注意：采用摩擦角解题，应充分用好三力平衡的推论！ （七）、共点力系作用下物体平衡条件

在共点力系作用下，物体平衡条件为合外力等于零．可用两种方式表示． 直角坐标系下的分量表示

f?? （1.5） NF1?F2???Fn??Fi?0 (1.6)

?Fix?0,?Fiy?0,?Fiz?0 (1.7)

（八）、定轴转动物体的平衡条件

可绕定轴转动的物体平衡的条件是：作用在物体上各力对轴的力矩代数和等于零．即

∑Mi=0 (1.8)

注意：采用力矩平衡关键在于恰当选择转动轴！ （九）、一般物体的平衡

若物体处于静止状态，它既不发生移动又不发生转动，或者物体匀速运动或匀速转动，其平衡条件应该是合力为零，合力矩也为零(刚体平衡条件下，合外力矩为零)．如果是常常遇到的平面力系，可写出方程

∑Fix＝0，∑Fiy＝0，∑Miz＝0 (1.9)

注意：任何动力学问题原则上可以转化为平衡问题！ （十）、平衡的稳定性

物体的平衡可以分为稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡三种．它们往往可以考虑用回复力、回复力矩、势能（重心升高）、支面等方法来判断． （十一）、运动的合成法则 对速度： v甲对乙＝v甲对丙+v丙对乙

???任何参考系：v绝对=v相对+v牵连．

???对加速度：平动参考系下 a绝对=a相对+a牵连 而转动参考系下较复杂． （十二）、物系相关速度

以下三个结论任实际解题中十分有用

1．刚性杆、绳上各点在同一时刻具有相同的沿杆、绳的分速度．

2．接触物系在接触面法线方向的分速度相同，切向分速度在无相对滑动时亦相同． 3．线状交叉物系交叉点的速度是相交物系双方沿双方切向运动分速度的矢量和． （十三）、 抛体运动

本质都是运动的分解与合成问题，着重对斜抛运动的推论． （十四） 圆周运动

2

???抓住向心加速度的概念和运动的圆分解．

二 例题与练习题

【练习1】 如图1—1表示一根细棒，上端A处用铰链与天花板相连，下端用铰链与另一细棒相连，两棒等长．两棒限制在图示平面内运动，且不计铰链处的摩擦．当在其C端加一适当的外力(在纸面中表示为棒所在的竖直平面内)时，可使两棒平衡在图示位置处，即两棒间夹角为90°且C端处在A的正下方．

（1）试说明，不管两棒的质量如何，此外力只可能在哪个方向范围内?

（2）如果AB棒的质量m1=1.0kg，BC棒的质量m2=2.0kg，求此外力的大小和方向．

图1—1

图1－2

【练习2】 半圆柱体重P，重心c到圆心O点的距离为a?度?，如图1－2所示．

径．如半圆柱体与水平面间的摩擦系数为?，求半圆柱体在A点被水平拉动时所偏过的角

4R其中R为圆柱体半3?图1－3

【练习3】 质量为m、长为l的均质细杆AB一端A置于粗糙地面(可视为铰链连接)， 另一端B斜靠在墙上，如图1—3所示．自A至墙引垂线AO，已知?oab??，杆B端与墙面的摩擦系数为?,求杆B端不至滑下 时，杆与AO所在平面与铅垂面的最大倾角?以及此刻墙对杆B端的支承力N．

【练习4】 如图1—4所示，半径分别为r1和r2的两个均匀圆柱体置于同一水平面上，在大圆柱上绕有一根细绳，通过细绳对大圆柱施以水平拉力P，设所有接触处的静摩擦因数均为μ．为了使在力P的作用下，大圆柱能翻过小圆柱，问μ应满足什么条件? 【练习5】 如图所示1—5，匀质圆柱体夹在木板与竖直墙之间，其质量为m，半径为R，与墙和木板间的摩擦因数均为μ，板很轻，其质量可忽略．板的一端O与墙用光滑铰链相连，另一端A挂有质量为m'的重物，OA长为L，板与竖直墙夹θ角，θ=53°．试问，m'至少需要多大才能使系统保持平衡?并对结果进行讨论．

图1—4

图1—5 图1—6

3

【练习6】 有一半径为R的圆柱A，静止在水平地面上，并与竖直墙面相接触．现有另一质量与A相同，半径为r的较细圆柱B，用手扶着圆柱A，将B放在A的上面，并使之与墙面相接触，如图所示1－6，然后放手．

已知圆柱A与地面的静摩擦因数为0.20，两圆柱之间的静摩擦因数为0.30．若放手后，两圆柱体能保持图示的平衡，问圆柱B与墙面间的静摩擦因数和圆柱B的半径r的值各应满足什么条件?

【练习7】 如图1－7所示，物体A、B及滚轮C质量均为m，滚轮C由固定在一起的两个同心圆盘组成，半径分别为2r和r，各接触处静摩擦系数均为?，求维持系统平衡时，?最小值是多少?

图1－7

图1－8

图1－9

【练习8】 一桁架由11根等长的杆组成，A，B，?，G是铰链，如图1—8所示．A点刚性固定，G点只在竖直方向支撑住．忽略杆的重量，一重物W挂在E处，每根杆受纯拉伸或压缩力作用．求：A、G点的竖直支承力和每根杆的拉伸或压缩力．

【练习9】 如图1－9，四个半径为r、质量相等的光滑小球放在一个表面光滑的半球形碗底，四小球球心在同一水平面内．今用另一个完全相同的小球置于四小球之上．为使下面四小球相互接触不分离，碗半径应满足什么条件?

【练习10】 截面为圆形的竖直放置光滑半圆环，管内装满2n个相同的小球，其中第1个和第2n个小球与半圆环管端面相切，两端面在同一水平面内．如图1—10所示．假设每个小球重为W，与管壁恰好密合．求：从左端管口算起，第i个和第(i+1)个小球之间的压力Ni．

图1－10 图1－11 图1—12

4