量子力学期末考研复习资料

?A2??i0x1i2kx1?i2kx1ikx1?ikx1 [e?2e?2e?2e?2e]?22??2k? ?2k? k? ?k? 可见，动量pn的可能值为0 2pn2k2?22k2?2k2?2k2?2 动能的可能值为0 2???2?2?A2A2A2A2A2 )?2?? 对应的几率?n应为 ( 416161616

11111( )?A2?? 28888 上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得

A2A2A2 1???n?(?4?)?2????2??

4162n ∴ A?1/?? ∴ 动量p的平均值为

p??pn?nnA2A2A2A2?0?2k???2???2k???2???k???2???k???2???0161616162pnp2 T????n

2?n2?

2k2?21k2?21 ?0???2???2

?82?85k2?2 ?

8?17. 证明若两算符对易，则两算符有组成完全系的共同本征函数

??]=0 ?为两任意算符，且[FG?,G[证明]设 F?的本征函数即可。 ?的本函为?，本征值为?，只需证?也是G设Fnnn??=FG?? 给上式右乘? 因GFn???=FG??? GFnn??=?? Fnnn???=?G?? ???=GFGnnnnn??是F??与??算符本征值为?的本征函数，由F是非简并的分立谱GG? nnnn应是同一状态，它们之间互多差一常数。

??=?C? （C是任意常数） 即Gnnnnn?的本征函数 ??n也是G??]=0 F?有共同的本征函数。 ?,G?[FG逆命题：若两算符有组成完全系的共同本函，则这两算符对易。

?的共同本函为?,????，本征值为?,???? ?,G证：设F12n12n??=?? ? Fnnn设?为任一量子态，则???cn?n

n???=cFG??? ??]?=FG???-GF[FG?n???n-?cnGFnnn?? ??-c?G =?cn?nFn?nnnnn =?cn?n2?n-?cn?n2?n

nn =0

??]=0 （??0） ?[FG18. 下列算符哪些是厄米算符

dddd 22 i i22

dxdxdxdxdd[解]： 22，i22是厄米算符

dxdxdd i22不是厄米算符

dxdxd?x???p 是厄米算符

dx?pd?i??x也是厄米算符 dx2?xp??2d2是厄米算符 dx22?xpd2?2??2也是应厄米算符 dx??则[F??是厄米算符，???GF?]不是厄米?,G我们在前边第14题已证明FG且FG算符。

??]却是厄米算符 且i[FG?x/不是厄米算符，即?ip同样：i2px2d不是厄米算符 dxd2不是厄米算符。 dx2也不是厄米算符，即i19. 设氢原子处于

?(r,?,?)?13R21Y10?R21Y1?1 22求氢原子能量、角动量平方及z分量的可能值，可能值出现的几率，并求其平均值。

解：在此能量中，氢原子能量有确定值 E2???es22?n22???es28?2 (n?2)

角动量平方有确定值为

L2??(??1)?2?2?2 (??1) 角动量Z分量的可能值为 LZ1?0 LZ2??? 其相应的几率分别为 其平均值为 LZ?133?0?????? 44413， 4420. 证明自由粒子能级是简并的

i???i? 其本征函数?p(r)?Ae证明：动量算符 pp?r???p? ppp???自由粒子的哈密算符 H22??2

ip?r?]=0 因此它们肯定有共同本函 即 ??Ae?H显然[pp本征值求法如下：

????Hpp2 2?2i3??,?(Aep?r2)??2???iipAep?rp2??p 2?所以能量 E?i对应?p和?p对应两个状态，?p?Ae但能量 Ep?E?p

所以自由粒子能级是二度简并。

?x??i21. 求pd的本征方程 dxp?r ??p?Aei?p?r

?x的本征函数为?(x) [解] 设p?x?(x)?px?(x) ?p?id?dip?(x)?px?x (x)?xdx dx?(x)d?ipx??dx dxipxx?c1i两边积分 ?ln?(x)??ipxx?c1 ?(x)?e?c2epxx

?(x)?cepxx （C为归一化常数）

?(x)dx?1 由归一化条件 ??18(x)?cc2i12?pxxieepxxdx??cedx?1

2i(px?p1x)xdx?1

???i??e(px?p1x)x