新概念物理教程 力学答案详解（四）

4—10．在光滑的水平桌面上，用一根长为?的绳子把质量为m的质点联结到一固定点O。起初，绳子是松弛的，质点以恒速率v0沿一直线运动。质点与O最接近的距离为b，当此质点与O的距离达到?时，绳子就绷紧了，进入一个以O为中心的圆形轨道。 （1）求此质点的最终动能与初始动能之比。能量到哪里去了？

（2）当质点作匀速率圆周运动后的某个时刻，绳子突然断了，它将如何运动？绳断后质点对O的角动量如何变化？

12解：(1)E初?mv021122E终?m?v0sin???mv0sin2?22E终?sin2??1其它能量转变成绳的弹性势能。E初（2）绳突然断后，m将作直线运动?lv0b由于无外力作用（重力与支持力相抵消），所以m对O的角动量不变，为:J?lmv0sin?4—11．图中O为有心力场的力心，排斥力与距离平方成反比：f=k/r2（k为一常量）。 （1）求此力场的势能；

（2）一质量为m的粒子以速度v0、瞄准距离b从远处入射，求它能达到的最近距离和此时刻的速度。

解：（1）r处的势能：Ep?(2)设最近距离为b：??r??f?dr???rkkdr?r2r（这是取无穷远处为能势零点的）1k12机械能守恒：mv0??mv22R2角动量守恒：mv0b?mvR由（a)(b)求出：R?v?

2mv03mbv042k?k2?m2v0b(a)(b)42k?k2?m2v0b

4—12．在上题中将排斥力改为吸引力，情况如何？

???kk?解：（1）r初的势能：Ep??f?dr???2dr??rrrr（这是取无穷远处为势能零点的）(2)设最近距离为b：12k1机械能守恒：mv0???mv2(a)2R2角动量守恒：mv0b?mvR(b)由（a)(b)求出：R?v?42?k?k2?m2v0b2mv03mbv042?k?k2?m2v0b

4—13．如果由于月球的潮汐作用，地球的自转从现在的每24小时一圈变成每48小时一圈，试估计地球与月球之间的距离将增为多少？

已知地球的质量为M田?6?1024kg,地球半径为R田?6400km.月球的质量为M月?7?1022kg,地月距离为l?3.8?105km解：月球绕地球转的周期与地球自转的周期相同。GM田M月2F地月??M?l月2l?GM??l??2田????1/3?GM田???2/32/3l'??'2??24/2??????2/3?????2????l?GM田?1/3??'??48/2???2????l'?2?2/3l?2?2/3?3.8?105?4—14．一根质量可以忽略的细杆，长度为?,两端各联结质量为m的质点，静止地放在光滑的水平桌面上。另一质量相同的质点以速率v0沿450角与其中一个质点作弹性碰撞，如本题图所示。求碰后杆的角速度。 v0450

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解：碰撞前后,由三质点组成的系统(c是杆上两质点的质心）：1?l?Ic?2m???ml22?2?动量守恒：mv0?mv'?2mvc2（1）?12111机械能守恒：mv0?mv'2?Ic?2?2mvc2222212即：v0?v'2?l2?2?vc2(2)2l1对质心的角动量守恒:msin450?v0?v'??Ic??ml2?22(1)和（3）?2vc?2lv0(3)?由（1）（2）（3）???22v03l4—15．质量为M的均匀正方形薄板，边长为L，可自由地绕一铅垂边旋转。一质量为m、速度为v的小球垂直于板面撞在它的对边上。设碰撞是完全弹性的，问碰撞后板和小球将怎样运动？

解：板对铅垂边的转动惯量：在距离铅垂边为x处，取小矩形：宽为dx,长为L的面元。则:dm??ds??LdxL11I??x2dm??x2?Ldx??L4?ML2o33碰撞前后：11111机械能守恒：mv2?mv'2?I?2?mv'2?ML2?2222261对铅垂轴角动量守恒：mvL?mv'L?I??mv'L?ML2?36mv?????3m?M?L????v'?3m?Mv?3m?M?(1)(2)

4—16．由三根长?、质量为m的均匀细杆组成一个三角架，求它对通过其中一个顶点且与架平面垂直的轴的转动惯量。

解：设该转轴为过O且与该三角架垂直的轴利用平行轴定理。则：I?IAO对O?IBO对O?IAB对O?3??1212?132????ml2?ml?ml?ml?m?l?2??2?1233????2OAB4—17．六小球各重60g，用长1cm的六根细杆联成正六边形，若杆的质量可忽略，求下述情况的转动惯量。

（1）转轴通过中心与平面垂直； （2）转轴与对角线重合；

（3）转轴通过一顶点与平面垂直。

解：利用平行轴定理：（1）I中心?6ml2?6?60?12?360gcm2(2)I对角线(3)I顶点?3???3ml2?3?60?12?180gcm2?4m?l?2???22?3?22????2m?2?l??2ml?m2l2????12ml2?12?60?12?720gcm2

4—18．如本题图，钟摆可绕O轴转动。设细杆长?,质量为m，圆盘半径为R，质量为M。求：（1）对O轴的转动惯量；

（2）质心C的位置和对它的转动惯量。 O

解：（ 1）依平行轴定理有：

I O ? I m O ? I M O m,l对 对

1 ? 1 ? ? ml 2 ? ? MR 2 ? M ?R? l 2 ? ? ? 3 ? 2

m x m x ? m x M,R i i i i i i M ? m ( 2) x C ? i m m ? M x总

? l ?

m? ? ? M ?R ? l ? ? Mx mx m ? 2 ? M 的质心 的质心 ? ?

m ? M m ? M : I ? I ? m ? M x 2 2 ? I ? I ? ?m又 O ? ? C ? M ?x C C O C

? ? l ? ? 2 ? m ? l ??? ? ? M ?R ? 1 ? 1 ? 2 ? ? ? ml 2 ? ? MR 2 ? M ?R? l 2 ? ? m ? M ? ? ? ? ?? ? 3 m ? M ? 2

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