APIO2011 几何与计算 陈可卿 - 图文

射影平面上的直线

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射影平面上直线和点一样，也可以用坐标表示。

用X表示点X=(x1,x2,x3)用U表示直线U=(u1,u2,u3)

则X在直线U上有，X·U=0（看成三维内积）X1，X2两点连成直线U=X1×X2（叉积）

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射影平面上的直线（续）

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由于射影平面上的点与直线有对偶性，可以类似推导出

则直线U通过点X，U·X=0

U1，U2两直线交与点X=U1×U2

对称的，如果U=(0,0,u3)则，直线非正常直线。

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射影坐标应用

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求两直线交点

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不需要再推导麻烦的公式，可以直接求的，而且也不用考虑特殊情况。如果没有焦点，则x3=0。

例如求点X到直线U的距离，可以直接计算得交点。

X’=(U×X)×U再计算两点距离

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求点到直线距离

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射影坐标应用(续)

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混合积应用三个点X1,X2,X3(X1×X2)·X3=0 （三点共线）三条直线U1,U2,U3(U1×U2)·U3=0 （三线公点）等等可以推导，应用各种对偶性质

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