2018高考山东理科数学试题及答案解析[解析版]

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由（1）得xn?1?xn?2n?2n?1?2n?1.记梯形PnPn?1Qn?1Qn的面积为bn．

(n?n?1)n?1由题意bn??2?(2n?1)?2n?2，

2所以Tn?b1?b2?b3?……+bn?3?2?1?5?20?7?21?……+(2n?1)?2n?3?(2n?1)?2n?2① 又2Tn?3?20?5?21?7?22?……+(2n?1)?2n?2?(2n?1)?2n?1② ①-②得

32(1?2n?1)(2n?1)?2n?1n?1?Tn?3?2?(2?2?......?2)?(2n?1)?2=?． ?(2n?1)?2，?Tn?21?22（20）【2017年山东，理20，13分】已知函数f(x)?x2?2cosx，g(x)?ex(cosx?sinx?2x?2)，其中e?2.71828L是自然对数的底数．

（1）求曲线f(x)在点??,f????处的切线方程；

?12n?1n?1（2）令h(x)?g(x)?af(x)（a?R），讨论h(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

解：（1）由题意f?????2?2，又f??x??2x?2sinx，所以f?????2?，因此曲线y?f?x?在点??,f????处的切

线方程为y??2?2?2??x???，即y?2?x??2?2． （2）由题意得h?x??e2?cosx?sinx?2x?2??ax2?2cosx，

因为h??x??ex?cosx?sinx?2x?2??ex??sinx?cosx?2??a?2x?2sinx??2ex?x?sinx??2a?x?sinx?

?????2?ex?a??x?sinx?，令m?x??x?sinx，则m??x??1?cosx?0，所以m?x?在R上单调递增．

所以当x?0时，m?x?单调递减，当x?0时，m?x??0

x1) 当a?0时，e?a?0，当x?0时，h??x??0，h?x?单调递减，当x?0时，h??x??0，h?x?单调

递增，所以当x?0时h?x?取得极小值，极小值是 h?0???2a?1； 2) 当a?0时，h??x??2ex?elna???x?sinx?，由h??x??0，得x1?lna，x2=0，

①当0?a?1时，lna?0，当x????,lna?时，ex?elna?0,h??x??0，h?x?单调递增； 当x??lna,0?时，ex?elna?0,h??x??0，h?x?单调递减；

xlna当x??0,???时，e?e?0,h??x??0，h?x?单调递增．所以当x?lna时h?x?取得极大值．

2极大值为h?lna???a??lna?2lna?sin?lna??cos?lna??2??，

当x?0时h?x?取到极小值，极小值是 h?0???2a?1；

②当a?1时，lna?0，当x????,???时，h??x??0，函数h?x?在???,???上单调递增，无极值； ③当a?1时，lna?0所以当x????,0?时，ex?elna?0，h??x??0,h?x?单调递增；

当x??0,lna?时，ex?elna?0，h??x??0,h?x?单调递减；当x??lna,???时，ex?elna?0，、h??x??0,h?x?单调递增；所以当x?0时h?x?取得极大值，极大值是h?0???2a?1；

2当x?lna时h?x?取得极小值．极小值是h?lna???a??lna?2lna?sin?lna??cos?lna??2??．

综上所述：当a?0时，h?x?在???,0?上单调递减，在?0,???上单调递增，函数h?x?有极小值， 极小值是h?0???2a?1；当0?a?1时，函数h?x?在???,lna?和?0,lna?和?0,???上单调递增，

?lna,0?上单调递减，函数h?x?有极大值，也有极小值，极大值是

2极小值是h?0???2a?1；当a?1时，函数h?x?h?lna???a??lna?2lna?sin?lna??cos?lna??2??，

在???,???上单调递增，无极值；当a?1时，函数h?x?在???,0?和?lna,???上单调递增， 在?0,lna?上单调递减，函数h?x?有极大值，也有极小值，极大值是h?0???2a?1；

2极小值是h?lna???a?ln?a?2lna?sin?lna??cos?lna??2??．

在

x2y2（21）【2017年山东，理21，14分】在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:2?2?1（a?b?0）

ab2的离心率为，焦距为2．

2.

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（1）求椭圆E的方程； （2）如图，动直线l：y?k1x?k1k2?3交椭圆E于A、B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2， 且2223，⊙M的半径为MC，OS、OT是⊙M的两条，M是线段OC延长线上一点，且MC︰AB＝︰4切线，切点分别为S、T，求?SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．

x2c2解：（1）由题意知 e??，2c?2，所以 a?2,b?1，因此椭圆E的方程为?y2?1．

a222?x?y2?1,??2（2）设A?x1,y1?,B?x2,y2?，联立方程?得4k12?2x2?43k1x?1?0，由题意知??0，

?y?kx?3,1??2??1?k121?8k1223k112且x1?x2?2，所以 AB?1?k1x1?x2?2． ,x1x2??2k12?12k1?12?2k12?1??x22??y?1,222?2由题意知k1k2?，所以k2?，由此直线OC的方程为y? x．联立方程?4k14k142?y?x,?4k?11?8k128k121222得x?，因此 OC?x?y?． ,y?221?4k121?4k11?4k12?SOTr由题意可知 sin??2r?OCOC1?2k12321，而， ??2222OCr41?4k11?k1221?k11?8k11?r32k12?11?8k121?4k12OC3t31311令t?1?2k12，则t?1,??0,1?，因此 ????1，

2r22t2?t?122t11?11?92??2?????tt?t2?4211?SOT1?SOT?当且仅当?，即t?2时等号成立，此时k1??，所以 sin?，因此?，

2t22226所以?SOT最大值为

?． 32?，取得最大值时直线l的斜率为k1??．

23综上所述：?SOT的最大值为

.