二项式定理答案

?1?6(x?x2)?15(x?x2)2?20(x?x2)3?15(x?x2)4?6(x?x2)5?(x?x2)6

其中含x5的项为20(?3)x5?15(?4)x5?6x5?6x5． ∴x5项的系数为6．

方法3：本题还可通过把(1?x?x2)6看成6个1?x?x2相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，x55项可由下列几种可能得到．5个因式中取x，一个取1得到C56x．

1323个因式中取x，一个取?x2，两个取1得到C36?C3x?(?x)． 2221个因式中取x，两个取?x2，三个取1得到C1?Cx?(?x)． 65311255合并同类项为(C56?C6C3?C6C5)x?6x，x项的系数为6． 2nn?1例6 求证：（1）C1； n?2Cn???nCn?n?20（2）Cn?5111211Cn?Cn???Cn(2n?1?1)． n?23n?1n?1分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者

求一些组合数式子的值．解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用

12nn二项式系数性质C0n?Cn?Cn???Cn?2．

解：（1）?kCn?k?kn!n!(n?1)!?1??n??nCkn?1

k!(n?k)!(k?1)!(n?k)!(k?1)!(n?k)!1n?1∴左边?nC0n?1?nCn?1???nCn?1

1n?1n?1 ?n(C0?右边． n?1?Cn?1???Cn?1)?n?2（2）

11n!n!Ck??? nk?1k?1k!(n?k)!(k?1)!(n?k)!?1(n?1)!1?1??Ckn?1． n?1(k?1)!(n?k)!n?11111?1Cn?1?C2???Cnn?1n?1 n?1n?1n?1112n?1(C1?C???C)?(2n?1?1)?右边． ?n?1n?1n?1n?1n?1∴左边?说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解．此外，有些组合数

的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面

89782的例子：求29C1010?2C10?2C10???2C10?10的结果．仔细观察可以发现该组合数的式与(1?2)的展开式接

10近，但要注意：

022991010(1?2)10?C10?C110?2?C10?2???C10?2?C10?2

29 ?1?2?10?22C10???29C10?210C1010 29 ?1?2(10?2C10???28C10?29C1010) 289910从而可以得到：10?2C10???2C10?2C10?110(3?1)． 2