二项式定理答案

1． 知识精讲：

0n1n?1rn?rrnn（1）二项式定理：?a?b??Cna?Cnab???Cnab???Cnb（n?N）

n?rn?rr其通项是Tr?1?Cn，知4求1，如：T6?T5?1?Cnan?5b5 ab （r=0,1,2,??,n）

5亦可写成：Tr?1?Cna()

rnnn1n?1rn?rr?a?b?n?Cn0an?Cnab?????1?Cnab?????1?Cnb（n?N?） 0n1rn?rnn特别地：?1?x??Cnx?Cnx???Cnx???Cnx（n?N）

n?rnbarr其中，Cn——二项式系数。而系数是字母前的常数。

12n例1．Cn等于 （ ） ?3Cn?9Cn???3n?1Cn34n4n?1

?1 D.A．4 B。3?4 C。 33

nn12n解：设Sn?Cn，于是： ?3Cn?9Cn???3n?1Cn12n12n=Cn?3Cn3Sn?3Cn?32Cn?33Cn???3nCn?32Cn?33Cn???3nCn?1

3033故选D

例2．（1）求(1?2x)7的展开式的第四项的系数；

3（2）求(x?)的展开式中x的系数及二项式系数 1x93解：（1）(1?2x)的展开式的第四项是T3?1?C7(2x)3?280x3，

7∴(1?2x)的展开式的第四项的系数是280． （2）∵(x?)的展开式的通项是Tr?1?C9x719x∴9?2r?3，r?3，

3r9?r1(?)r?(?1)rC9rx9?2r， x33∴x的系数(?1)3C9??84，x的二项式系数C9?84．

3

（2）二项展开式系数的性质：①对称性,在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即

0n1n?12n?2kn?kCn?Cn,Cn?Cn,Cn?Cn,?Cn?Cn,?

②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即n偶数：Cn??rmax?Cn?Tn；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式

2?1n2系数相等并且最大，即Cn??rmax?Cnn?12?Cnn?12?Tn?1?Tn?1。

2?12?1

01n③所有二项式系数的和用赋值法可以证明等于2即Cn?Cn???Cn?2n；

0213奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即Cn?Cn???Cn?Cn???2n?1

n例3．已知(1?2x)7?a0?a1x?a2x2???a7x7，求：

（1）a1?a2???a7； （2）a1?a3?a5?a7； （3）|a0|?|a1|???|a7|. 解：（1）当x?1时，(1?2x)7?(1?2)7??1，展开式右边为

a0?a1?a2???a7

∴a0?a1?a2???a7??1，

当x?0时，a0?1，∴a1?a2???a7??1?1??2， （2）令x?1， a0?a1?a2???a7??1 ① 令x??1，a0?a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7?37 ②

1?37①?② 得：2(a1?a3?a5?a7)??1?3，∴ a1?a3?a5?a7??.

27（3）由展开式知：a1,a3,a5,a7均为负，a0,a2,a4,a8均为正， ∴由（2）中①+② 得：2(a0?a2?a4?a6)??1?37，

?1?37∴ a0?a2?a4?a6?，

2∴|a0|?|a1|???|a7|?a0?a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7

?(a0?a2?a4?a6)?(a1?a3?a5?a7)?37 ?1?x??例4．（1）如果在??? 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。 42x??n??1??（2）求

?x?x?2?的展开式的常数项。 ??nn(n?1)解：（1）展开式中前三项的系数分别为1， ，，

28nn(n?1)由题意得：2×=1+得n=8。

28设第r+1项为有理项，Tr?131?c?r?x2r816?3r4，则r是4的倍数，所以r=0，4，8。

有理项为T1?x,T5?4351x,T9?。 28256x【思维点拨】 求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定r。

3???x?1?2???x??（2）

?????1??Tr?1x?x??，其展开式的通项为

6???1?C6xrr6?r2?1???6?rr?x????1?rCrx2?2??6，令

r26?rr—?022得r?3

所以，常数项为

T4??20

【思维点拨】 密切注意通项公式的使用。

（3）二项式定理的应用：近似计算和估计、证不等式，如证明：2n?2n?n?3,n?N?取2n??1?1?的展开式中

n的四项即可。

1n?12n?2n?1例5、 若n为奇数，则7n?Cn7?Cn7???Cn7被9除得的余数是 （ ）

A．0 B。2 C。7 D.8

1n?12n?2n?1解：7n?Cn7?Cn7???Cn7?8n?1??9?1??1

n=9n1n?1?Cn9?????1?Cnn?19???1??1

n?1nn1n?1?Cn9?????1?Cnn?19]?2

n?1因为n为奇数，所以原式=[9所以，其余数 为9 – 2 = 7，选C

1n)?3 n证明: (1?1)n?1?C11?C21???Cn1?1?C11?2

nnnnnnn2nnn例6：当n?N且n>1，求证2?(1?n?n?1?n?n?1??n?2?1n?n?1??n?2??3?2?1 ?1??????1???2?2!n23!n!nn?n?n1?1??1?n?1?1111112?2? ?2??????2??2???n?1?2?12!3!n!2221?23?1 从而2?(1?1)n?3 ?3.n2n?1【思维点拨】这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定。

2．重点难点: 二项式定理，和二项展开式的性质。 3．思维方式:一般与特殊的转化，赋值法的应用。 4．特别注意:①二项式的展开式共有n+1项，Cnarn?rbr是第r+1项。

rn?rr②通项是Tr?1?Cn中含有Tr?1,a,b,n,r五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素。 ab （r=0,1,2,??,n）

③注意二项式系数与某一项系数的异同。

④当n不是很大，|x|比较小时可以用展开式的前几项求(1?x)n的近似值。

例7 （1）求(1?x)3(1?x)10展开式中x5的系数；（2）求(x?1?2)6展开式中的常数项． x分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式．

解：（1）(1?x)3(1?x)10展开式中的x5可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：

55用(1?x)3展开式中的常数项乘以(1?x)10展开式中的x5项，可以得到C10x；用(1?x)3展开式中的一次项乘4445以(1?x)10展开式中的x4项可得到(?3x)(C10x)??3C10x；用(1?x)3中的x2乘以(1?x)10展开式中的x3可得到333522253x2?C10x?3C10x；用 (1?x)3中的x3项乘以(1?x)10展开式中的x2项可得到?3x3?C10x??C10x，合并同

类项得x5项为：

5432(C10?C10?3C10?C10)x5??63x5．

?11?x??（2）x??2?? ??xx???11?(x??2)5??x????． xx???1?r12?r?1?r6?r6x??由?展开式的通项公式，可得展开式的常数项为CT?C(2)?Cx??12?924． r?11212??x???x?说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决．这时我们还可以通过合并项转化为二项式展

开的问题来解决．

例5 求(1?x?x)展开式中x的系数．

分析：(1?x?x)不是二项式，我们可以通过1?x?x?(1?x)?x或1?(x?x)把它看成二项式展开． 解：方法一：(1?x?x2)6?(1?x)?x2

?(1?x)?6(1?x)x?15(1?x)x??

53555其中含x的项为C5C16x?6C5x?154x?6x．

5521212r26526222??665244含x项的系数为6．

方法二：(1?x?x2)6?1?(x?x2)

??6