《二次函数》章节复习

濮阳市油田第十八中学初四年级数学“导学练”

《二次函数》章节复习

执笔：郭长勇 审核：初四数学组 时间：2013-10-16、17、18 课时：27-29 学生姓名： 〖知识清单〗： 一、概念 1、函数：

（1）一般地，在某一变化的过程中，如果有两个变量x与y，如果对于自变量x在某一范围内取的每一个 ，y都有 的值与它 ，那么说y是x的函数. （2）函数的表示方法： ， ， 。

（3）自变量的取值范围：使代数式 ，使实际问题 。 2、二次函数：

（1）定义：形如 （2）一般式：

顶点式： 交点式： 二、二次函数的图像和性质

1、形状：二次函数的图像是一条

2、开口方向：当a?0时，开口向 ；当a?0时，开口向 。 3、一般式y?ax?bx?c?a?0?的图像性质

2（1）对称轴：二次函数y?ax的对称轴是 ；y?ax?bx?c的对称轴是 （2）顶点坐标：二次函数y?ax的顶点坐标是 ；y?ax?bx?c的顶点坐标是 （3）增减性：

若a?0，当x 时，y随x的增大而 ；当x 时，y随x的增大而 若a?0，当x 时，y随x的增大而 ；当x 时，y随x的增大而 （4）最值：

若a?0，当x= 时，y有最小值是 若a?0，当x= 时，y有最大值是 4、顶点式y?a?x?h??k?a?0?的图像性质 （1）对称轴： ； （2）顶点坐标： （3）增减性：

若a?0，当x 时，y随x的增大而 ；当x 时，y随x的增大而 若a?0，当x 时，y随x的增大而 ；当x 时，y随x的增大而 （4）最值：

若a?0，当x= 时，y有最小值是 若a?0，当x= 时，y有最大值是 三、二次函数的的平移

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四、系数a、b、c与二次函数的图像

（1）a的符号由 确定， 时，a?0； 时，a?0

（2）a、b同号时，对称轴在y轴的 侧；a、b异号时，对称轴在y轴的 侧；b=0时，对称轴是 。（左同右异）

（3）c的符号由 确定，当 时，c?0；当 时，c?0； 当 时，c?0。

以上结论和条件互换时，仍然成立。 五、二次函数关系式的确定

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1．设一般式：y＝ax＋bx＋c(a≠0)．

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若已知条件是图象上三个点的坐标或三组x、y的对应值，则设一般式y＝ax＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．

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2．设顶点式：y＝a(x－h)＋k(a≠0)．

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若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h)＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式． 3．设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．

若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式． 六、抛物线与坐标轴的交点

（1）与y轴交点的求法：令 =0，则 =c，交点为（0，c）

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（2）与x轴交点的求法：令 =0，则得到一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)，ax＋bx＋c＝0(a≠0)的解是抛物线与x轴交点的________；交点个数由一元二次方程的判别式的符号决定；

b2?4ac?0时，一元二次方程 ，函数与x轴 b2?4ac?0时，一元二次方程 ，函数与x轴 b2?4ac?0时，一元二次方程 ，函数与x轴 （3）与其他函数图像的交点求法：联立方程，解方程组即可。 〖探究重难方法〗

考点一、函数自变量的取值范围

1 中自变量x的取值范围是（ ） x?3A、x?2 B、x?3 C、x?2且x?3 D、x?2且x?3

例1、函数y?2?x? 2

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方法总结：求自变量的取值范围有以下几种情形： 1、函数解析式是整式时，自变量取全体实数；

2、函数解析式是分式时，自变量的取值不能使分母为零；

3、函数解析式是偶次根式时，自变量的取值应使被开方数为非负数； 4、函数解析式是零次幂或负整数次幂时，自变量的取值应使底数不为零。

1 中自变量x的取值范围是（ ） x?2A、x?-2 B、x??2且x?2 C、x?0且x?2 D、x??2且x?2

触类旁通：1、函数y?x?2?2、使函数y?ax?1有意义的自变量x的取值范围是x?2，则实数a的值是 考点二、二次函数的图象及性质

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例2、(1)二次函数y＝－3x－6x＋5的图象的顶点坐标是( )

A．(－1,8) B．(1,8) C．(－1,2) D．(1，－4)

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(2)已知抛物线y＝ax＋bx＋c(a＞0)的对称轴为直线x＝1，且经过点(－1，y1)，(2，y2)，试比较y1和y2的大小：y1________y2.(填“＞”“＜”或“＝”)

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方法总结：1.将抛物线解析式写成y＝a(x－h)＋k的形式，则顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线

b4ac－b2?b?x＝h，也可应用对称轴公式x＝－，顶点坐标?－，来求对称轴及顶点坐标．

4a?2a?2a?

2．比较两个二次函数值大小的方法：

(1)直接代入自变量求值法；

(2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断； (3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断．

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触类旁通：已知二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是( )

A．a＞0 B．当x＞1时，y随x的增大而增大

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C．c＜0 D．3是方程ax＋bx＋c＝0的一个根 考点三、利用二次函数图象判断a，b，c的符号

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例3、如图，是二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，给出下列命

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题：①a＋b＋c＝0；②b＞2a；③ax＋bx＋c＝0的两根分别为－3和1；④a－2b＋c＞0.其中正确的命题是__________．(只要求填写正确命题的序号) 方法总结：根据二次函数的图象确定有关代数式的符号，是二次函数中的一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性．解题时应注意a决定抛物线的开口方向，c决定抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴由a，b共同决定，b2－4ac决定抛物线与x轴的交点情况．当x＝1时，决定a＋b＋c的符号，当x＝－1时，决定a－b＋c的符号．在此基础上，还可推出其他代数式的符号．运用数形结合的思想更直观、更简捷．

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触类旁通：小明从如图的二次函数y＝ax＋bx＋c的图象中，观察得出了下面五个结论：①c＜0；②abc＞0；③a－b＋c＞0；④2a－3b＝0；⑤c－4b＞0，你认为其中正确的结论有( )

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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 考点四、二次函数图象的平移

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例:4、二次函数y＝－2x＋4x＋1的图象怎样平移得到y＝－2x的图象( ) A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位

方法总结： 二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后按照“左加右减、上加下减”的规律进行操作．

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触类旁通:将二次函数y＝x的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是( )

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A．y＝(x－1)＋2 B．y＝(x＋1)＋2 C．y＝(x－1)－2 D．y＝(x＋1)－2 考点五、确定二次函数的解析式

例5、如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是(0，3)，以点C为顶点的抛物线y=ax+bx+c恰好经过x轴上A，B两点． (1)求A，B，C三点的坐标；

(2)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式．

方法总结： 用待定系数法求二次函数解析式，需根据已知条件，灵活选择解析式：若已知图象上三个点的坐标，可设一般式；若已知二次函数图象与x轴两个交点的横坐标，可设交点式；若已知抛物线顶点坐标或对称轴与最大(或小)值，可设顶点式．

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触类旁通：已知抛物线y＝－x＋(6－m)x＋m－3与x轴有A，B两个交点，且A，B两点关于

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y轴对称． (1)求m的值；

(2)写出抛物线的关系式及顶点坐标．

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