2018年四川省自贡市中考数学试卷(含答案解析版)

（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？

（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题． 【专题】537：函数的综合应用．

【分析】（1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；根据自变量与函数值的对应关系，可得D点坐标，再根据待定系数法，可得直线的解析式；

（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；

（3）根据PQ的长是正整数，可得PQ，根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可得DR的长，根据点的坐标表示方法，可得答案． 【解答】解：（1）把（1，0），（﹣3，0）代入函数解析式，得

，

解得 ，

抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；

当x=﹣2时，y=（﹣2）2+2×（﹣2）﹣3，解得y=﹣3， 即D（﹣2，﹣3）．

设AD的解析式为y=kx+b，将A（1，0），D（﹣2，﹣3）代入，得

，

解得 ，

直线AD的解析式为y=x﹣1；

（2）设P点坐标为（m，m﹣1），Q（m，m2+2m﹣3），

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l=（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3） 化简，得 l=﹣m2﹣m+2 配方，得

l=﹣（m+）2+，

当m=﹣时，l最大=；

（3）DR∥PQ且DR=PQ时，PQDR是平行四边形， 由（2）得0＜PQ≤，

又PQ是正整数， ∴PQ=1，或PQ=2．

当PQ=1时，DR=1，﹣3+1=﹣2，即R（﹣2，﹣2）， ﹣3﹣1=﹣4，即R（﹣2，﹣4）；

当PQ=2时，DR=2，﹣3+2=﹣1，即R（﹣2，﹣1）， ﹣3﹣2=﹣5，即R（﹣2，﹣5），

综上所述：R点的坐标为（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣4），（﹣2，﹣1）（﹣2，﹣5），使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形．

【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用二次函数的性质；解（3）的关键是利用DR=PQ且是正整数得出DR的长．

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