八年级数学类比与联想复习题

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第二十讲 类比与联想

类比就是根据两种事物一部分类似的性质，推测这两种事物其他类似性质的推理方法．例如，由分数的性质类似地推测分式的性质；由直线与圆的位置关系推测圆与圆的位置关系；由一次函数、一次方程、一次不等式的某些性质和解法，推测二次函数、二次方程、二次不等式的某些类似的性质与解法等．

联想是由某种事物而想到其他相关事物的思维活动．当我们遇到一个数学问题时，常常想起与它类似的问题、类似的解法，从而有利于新问题的解决．

利用类比与联想，常常可以发现新命题和扩展解题思路． 1．类比与发现

例1 已知：△ABC中，∠C= 90°，AC=BC=1，BD是AC边上的中线，E点在AB边上，且ED⊥BD．求△DEA的面积(图2-113)．

解 引CF⊥BA于F，由于BC= AC，所以CF是底边AB上的中线．因为H为△ABC的重心，所以

因为∠C=∠BDE=90°，所以

∠ADE=∠CBH．

又由∠A=∠BCH=45°，可知△ADE∽△CBH．所以

类比 如果保留例1中等腰三角形诸条件，去掉直角这一特殊性，那么是否会产生类似的命题呢？由此想到例2．

例2 如图2-114．已知△ABC中，∠C=4∠B=4∠A，BD是AC边上的中线，E点在AB上，且∠AED=∠C，S△ABC=1，求S△AED．

解 类似例1的解法，引CF⊥AB于F，交BD于H，显然△ADE不相似于△CBH．但由已知条件

∠C=4∠B=4∠A，

则

∠A=∠B=30°，∠C=120°．

由于CF平分∠C，所以

∠ACF＝60°．

又因为∠AED=∠ACB，∠A=∠A，所以

△ADE∽△ABC，

所以

由于△AFC中∠AFC=90°，∠A=30°，所以若设CF=x，则

类比 如果保留例1中的直角等条件，去掉等腰三角形这一特殊性，可以类似地得到例3．

例3 已知△ABC中∠C= 90°，AC=2BC=2，BD是AC边上的中线，CF⊥AB于F，交BD于H(图2-115)．求S△CBH．

解 本题直接求S△CBH有些困难，联想例1、例2中的△ADE，不妨引辅助线DE⊥BD交AB于E．

由于AC=2BC=2，D是AC的中点，且∠C=∠BDE=90°，所以

∠CBH=∠ADE=45°．

因为CF⊥AB于F，所以∠BCH=∠A．由于BC=AD=1，所以

△CBH≌△ADE，

所以 S△CBH=S△ADE.

因此只要求出S△ADE即可，为此，设DE=x，则

(2)例3由例1类比而来，最自然的想法是求S△ADE，为增加难度与变换方式获得新命题，故例3反求S△CBH．

我们知道一个三角形的三边如果是a，b，c，那么就有

│b-c│＜a＜b＋c，①

即三角形任意一边小于其余两边之和，大于其余两边之差． 我们对①类比：是否有

存在呢？如果②存在，那么就发现了如下命题(例4)．